심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
물의 높이가 일정하면 막대가 잠기는 부분의 길이도 일정하다.
막대를 연못 바닥까지 한쪽 끝부터 넣었다가 꺼내니 젖은 부분이 m였습니다. 거꾸로 하여 다른 쪽 끝부터 넣었다가 꺼내니 두 번 젖은 부분(두 젖은 구간이 겹친 부분)이 m였습니다. 막대의 전체 길이를 구합니다.
분수
내 답
m인가요?
조심 두 젖은 길이( + )를 그냥 더하기만 하고 싶어지지만, 그러면 겹친 m 부분이 두 번 세어지므로 한 번 빼주어야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 막대를 선분으로 그리고 양 끝에서 각각 만큼 젖은 구간을 표시합니다. 두 구간은 만큼 겹칩니다. 길이 = (왼쪽 젖음) + (오른쪽 젖음) - (겹침)으로, 전형적인 겹침 빼기입니다.
1STEP 1
매번 m가 젖음
양 끝 어디로 넣어도 물 깊이인 m만큼 젖습니다.
같은 연못, 같은 깊이이므로 양 끝 모두 같은 m 길이만큼 젖습니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram2STEP 2
겹침이 두 번 젖은 부분
양 끝의 젖은 부분이 가운데에서 겹치고, 겹침은 m입니다.
두 번 다 세어진 가운데 구간이 바로 m의 두 번 젖은 부분입니다.
4.NF.B.3Draw A Diagram3STEP 3
겹침 빼기로 합치기
전체 길이 = 왼쪽 젖음 + 오른쪽 젖음 - 겹침 = + - = = m.
양쪽 젖은 부분을 더하면 가운데가 두 번 세어지므로, 겹침을 한 번 빼 줍니다.
4.NF.B.3Count The Complement막대의 전체 길이는 두 젖은 길이를 더한 값에서 두 번 젖은 겹친 부분을 한 번 빼준 것과 같다.
왜?
두 젖은 길이를 더하면 막대 전체가 깔리지만 가운데 부분이 두 번 겹쳐 쌓이므로, 그 가운데를 한 번 빼면 참된 길이만 남는다.
왜?
막대는 빈틈도 겹침도 없이 맞닿은 세 조각 — 한 번만 마른 왼쪽 끝, 두 번 젖은 가운데, 한 번만 마른 오른쪽 끝 — 으로 나뉘므로, 이 세 조각을 더하면 막대 전체가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
각 젖은 길이는 한쪽 끝 조각과 가운데 전체를 함께 덮으므로, 두 젖은 길이를 합치면 가운데가 두 번 들어간다.
왜?
젖은 구간은 하나의 이어진 길이를 끝 조각과 가운데로 빠짐없이 나눈 것이므로, 그 길이는 이 두 조각을 더한 값이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
가운데를 한 번 빼면 더하기가 넣어 둔 여분의 하나가 지워지는데, 빼기가 그 더하기를 되돌리기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
정답
m
막대 길이 m는 젖은 깊이 보다 길어야 하고(참), 두 번 넣은 길이 합 보다 짧아야 하며(참), 겹침 은 깊이 보다 작아야 합니다(참). 모두 7분의 몇 m로 일관됩니다.
핵심 정리
이 문제는 4학년의 분수 덧셈과 뺄셈만 있으면 돼요 — 양 끝에서 젖은 부분을 그리고, 두 번 젖은 겹침을 한 번만 빼면 돼요!
- 매번 m가 젖음
- 겹침이 두 번 젖은 부분
- 겹침 빼기로 합치기
다음은 어디로?
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.
같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition. 왜 같은 골격이 반복되는지 →