문제
모든 다각형은 몇 개의 삼각형으로 나눠진다.
정구각형, 즉 변이 9개이고 모든 변과 모든 각이 같은 다각형이 있습니다. 한 내각이 ㉠으로 표시되어 있고, 그 크기를 도 단위로 구해야 합니다.
도형
내 답
도인가요?
조심 1260도에서 멈추면 아홉 각의 합일 뿐 한 각의 크기가 아니에요 -- 9로 나누는 것을 잊지 마세요.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 한 꼭짓점에서 정구각형을 삼각형으로 나누어 낯선 9각형을 익숙한 여러 삼각형으로 바꾸고, 삼각형 하나당 180도로 각을 모두 더한 뒤, 정다각형이므로 똑같이 나눕니다.
1STEP 1
정구각형을 삼각형으로 나누기
한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 꼭짓점들로 대각선을 긋습니다. 변이 9개인 다각형은 9 - 2 = 7개의 삼각형으로 나뉩니다.
9 - 2 = 7 개의 삼각형
한 꼭짓점에서 부채처럼 대각선을 그으면 늘 변의 개수보다 2개 적은 삼각형이 생깁니다.
4.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
내각을 모두 더하기
삼각형 7개가 각각 180도이고, 이 각들이 아홉 내각을 채웁니다: 7 x 180 = 1260도.
7 × 180° = 1260°
180도짜리 삼각형 일곱 개가 모여 다각형의 내각의 합 전체를 이룹니다.
4.MD.C.7Solve An Easier Related Problem정구각형의 아홉 개 내각을 모두 더하면 1260도가 된다.
왜?
구각형은 빈틈없이 채우는 일곱 개의 삼각형으로 나뉘고, 그 일곱 삼각형의 각을 모두 더한 값은 구각형 자체의 내각을 모두 더한 값과 똑같다.
왜?
한 꼭짓점에서 그은 대각선은 구각형을 겹치지도 벌어지지도 않는 삼각형 조각들로 자르므로, 조각들 안의 각을 모두 더하면 정확히 구각형 전체 안의 각이 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
아홉 개의 변은 고른 꼭짓점에서 만나는 두 변과 그렇지 않은 일곱 변으로 나뉘고, 그 일곱 개의 먼 변 하나하나가 삼각형 하나의 밑변이 되므로 삼각형은 정확히 일곱 개다.
왜?
삼각형은 각각 먼 변 하나 위에 놓이고 먼 변은 각각 삼각형 하나의 밑변이 되므로, 삼각형의 수와 먼 변의 수는 반드시 같다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
일곱 삼각형은 각각 180도를 품고 있고, 180도가 일곱 몫이면 7 곱하기 180, 즉 1260이다.
왜?
평평한 삼각형의 세 꼭짓점은 언제나 모여 평각 하나, 곧 180도를 이룬다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
왜?
각각 180도를 지닌 삼각형 일곱 개는 180의 같은 크기 묶음 일곱 개이고, 같은 크기 묶음을 합치는 것이 바로 곱셈이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
아홉 각으로 똑같이 나누기
정구각형이므로 아홉 내각이 모두 같습니다. ㉠을 포함한 각 내각은 1260 / 9 = 140도입니다.
1260° ÷ 9 = 140°
각이 모두 같으므로 1260도를 9등분으로 공평하게 나누기만 하면 됩니다.
4.G.A.2Identify Subproblems정답
140 도
1260° ÷ 9 = 140°
140도는 90도와 180도 사이에 있어 볼록한 정다각형에 알맞습니다(각이 둔각이지만 직선보다는 작습니다). 다각형의 변이 늘수록 내각은 180도에 가까워지는데, 9각형의 140도는 육각형의 120도와 더 큰 다각형들 사이에 자연스럽게 놓입니다.
핵심 정리
어떤 다각형도 사실은 삼각형들의 모임이에요 — 180도짜리 삼각형 7개를 똑같은 9개의 모서리에 나누면 각 140도가 돼요!
- 정구각형을 삼각형으로 나누기
- 내각을 모두 더하기
- 아홉 각으로 똑같이 나누기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천