문제
원의 중심을 이어 만든 도형의 변은 반지름의 합이다.
크기가 서로 다른 네 원이 고리처럼 차례로 맞닿아 있습니다. 각 원의 중심을 이으면 사각형 ㄱㄴㄷㄹ이 됩니다. 각 변은 맞닿은 두 원을 잇고 있으므로, 변의 길이는 그 두 원의 반지름의 합과 같습니다. 사각형의 둘레는 60 cm이고, 네 원의 반지름의 합을 구해야 합니다.
측정·데이터도형
내 답
cm인가요?
조심 반지름의 합이 둘레와 같다고 생각하기 쉽지만, 네 변을 더하면 각 반지름이 두 번씩 세어지므로 실제 합은 그 절반이에요.
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 각 변을 반지름의 합으로 나타낸 다음 네 변을 모두 더합니다. 합을 들여다보면 각 반지름이 정확히 두 번씩 나타나, 둘레가 반지름 합의 2배가 됩니다. 미지의 반지름을 따로따로 다루는 것보다 훨씬 간단한 관계입니다.
1STEP 1
각 변을 두 반지름의 합으로 나타내기
맞닿은 두 원은 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같습니다. 그래서 각 변은 이웃한 두 반지름의 합이에요.
ㄱㄴ+ㄴㄷ+ㄷㄹ+ㄹㄱ = (r_ㄱ+r_ㄴ)+(r_ㄴ+r_ㄷ)+(r_ㄷ+r_ㄹ)+(r_ㄹ+r_ㄱ)
그림을 보면 각 변이 맞닿은 두 원을 잇고 있어서, 변은 두 반지름을 끝과 끝으로 이어 놓은 것임을 알 수 있습니다.
3.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
각 반지름이 두 번씩 세어짐을 알아채기
네 변을 더하면 각 반지름이 두 번씩 나타나요. 그래서 둘레는 네 반지름 합의 2배예요.
60 = 2 × (r_ㄱ+r_ㄴ+r_ㄷ+r_ㄹ)
'반지름마다 두 번씩'이라는 반복되는 패턴을 알아채면 큰 합이 단순한 2배 관계로 줄어듭니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem사각형의 네 변을 모두 더하면 네 반지름의 합의 정확히 두 배가 되는데, 이는 각 반지름이 두 번씩 세어지기 때문이다.
왜?
각 변은 그 양 끝에 있는 두 반지름을 더한 길이와 같으므로, 네 변을 합치는 것은 여덟 개의 반지름 길이를 더하는 것과 같다.
왜?
두 원이 바깥에서 맞닿을 때 맞닿는 점은 두 중심을 잇는 직선 위에 있어서, 그 변을 한 원의 반지름과 다른 원의 반지름으로 빈틈없이 남김없이 나눈다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그 여덟 개의 반지름 길이 중에서 각 원의 반지름은 정확히 두 번씩 나타나는데, 이는 각 원이 양옆의 이웃과 맞닿기 때문이다.
왜?
여덟 개의 길이는 어떤 순서로 더해도 되므로, 각 반지름의 두 복사본을 서로 나란히 옮겨 놓을 수 있다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
왜?
짝을 지어 묶으면 네 반지름 전체의 합이 똑같이 두 벌 남고, 어떤 양의 똑같은 두 벌은 그 양을 두 번 취한 것이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
둘레를 반으로 나누기
둘레가 반지름 합의 2배이므로, 60을 2로 나누면 반지름의 합이 됩니다.
60 ÷ 2 = 30
2배를 되돌리는 것은 2로 나누는 것일 뿐이며, 이는 3학년의 기본 나눗셈입니다.
3.OA.A.2Solve An Easier Related Problem정답
30 cm
60 ÷ 2 = 30
반지름의 합(30 cm)은 둘레 60 cm의 정확히 절반인데, 둘레가 모든 반지름을 두 번씩 세기 때문에 맞습니다. 단위는 cm로 유지되고, 30은 경계인 60 cm에 비해 적절한 크기입니다.
핵심 정리
3학년 사고만 있으면 충분해요. 반지름마다 두 번씩 세어지니까 둘레를 반으로 나누기만 하면 돼요!
- 각 변을 두 반지름의 합으로 나타내기
- 각 반지름이 두 번씩 세어짐을 알아채기
- 둘레를 반으로 나누기
다음은 어디로?
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