심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
이웃하는 수 사이의 관계를 이용하여 규칙을 찾는다.
수 배열의 규칙을 찾아 여덟째 줄의 첫 번째 수를 구하시오.
| 줄 | 수 배열 |
|---|---|
| 첫째 줄 | |
| 둘째 줄 | |
| 셋째 줄 | |
| 넷째 줄 |
각 줄은 홀수를 차례로 늘어놓은 것으로, 첫째 줄에는 개, 둘째 줄에는 개, 셋째 줄에는 개, 넷째 줄에는 개의 수가 있다. 줄마다 수의 개수가 개씩 늘어난다.
연산
내 답
조심 여덟째 줄에 들어 있는 수의 개수(15, 2 × 8 - 1 = 15)를 구해 놓고, 그것을 여덟째 줄의 첫 번째 수로 착각하기 쉽습니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 각 줄의 첫 번째 수만 적어 보면 1, 3, 9, 19이고, 이들 사이의 차이를 살펴봅니다. 차이가 일정하게 늘어나므로, 모든 홀수를 다 적지 않고도 이 규칙을 여덟째 줄까지 늘려 나갈 수 있습니다.
1STEP 1
각 줄의 첫 번째 수를 적기
주어진 각 줄의 첫 번째 수를 읽어 봅니다. 첫째 줄은 1, 둘째 줄은 3, 셋째 줄은 9, 넷째 줄은 19에서 시작합니다.
1, 3, 9, 19, …
각 줄의 첫 번째 수만 보면 커다란 표가 짧고 다루기 쉬운 수의 배열로 바뀝니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem2STEP 2
첫 번째 수들이 어떻게 커지는지 찾기
뛰는 크기 3-1=2, 9-3=6, 19-9=10은 2, 6, 10이고 4씩 커지므로, 다음 뛰는 크기는 14, 18, 22, 26입니다.
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 (앞의 수보다 4씩 큼)
줄마다 홀수가 2개씩 더 늘어나는데, 홀수를 2개 건너뛰면 수가 4만큼 커지므로 뛰는 크기도 4씩 커집니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern한 줄의 첫 수에서 다음 줄의 첫 수까지의 뜀은 매번 4씩 커져서 2, 6, 10, 14, ... 이 된다.
왜?
한 줄 아래로 내려갈 때, 떠나는 줄에는 그 앞 줄보다 수가 2개 더 들어 있으므로 이번 뜀은 지난 뜀보다 작은 간격을 2개 더 건너고, 이웃한 수 사이의 각 간격은 2만큼이다.
왜?
뜀이란 한 줄의 첫 수에서 다음 줄의 첫 수까지의 전체 거리이고, 그 거리는 지나치는 수들 사이의 작은 간격들을 빠뜨림도 겹침도 없이 모두 더한 것과 정확히 같다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
간격이 2개 더 늘고 각 간격이 똑같이 2이면 이는 2가 든 같은 묶음 2개이며, 같은 묶음을 더하는 것은 곱하는 것과 같으므로 2묶음의 2는 뜀에 4를 더한다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
여덟째 줄까지 뛰는 크기를 더하기
첫째 줄의 첫 수 1에서 시작해 뛰는 크기 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26을 차례로 더합니다.
1 + 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 = 99
뛰는 크기 하나하나가 다음 줄로 넘어가게 해 주므로, 처음 일곱 번의 뛰는 크기를 더하면 여덟째 줄의 시작에 도착합니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
99
1 + 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 = 99
개수로 확인하기: 첫째 줄부터 일곱째 줄까지는 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49개의 홀수가 있으므로, 여덟째 줄은 50번째 홀수부터 시작합니다. 50번째 홀수는 2 x 50 - 1 = 99로 일치하며, 99는 조건대로 홀수입니다.
핵심 정리
각 줄의 첫 번째 수와 그것이 매번 얼마나 뛰는지만 따라가 뛰는 크기를 더하면, 여덟째 줄은 99에서 시작합니다!
- 각 줄의 첫 번째 수를 적기
- 첫 번째 수들이 어떻게 커지는지 찾기
- 여덟째 줄까지 뛰는 크기를 더하기
다음은 어디로?
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