심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
내려갈 때 시간을 먼저 빼고, 남은 시간으로 올라갈 때 속력의 조건을 세운다.
시속 2 km로 흐르는 강에서 배가 자체 속력 시속 30 km로 100 km를 내려갔다가, 속력을 높여 다시 거슬러 올라옵니다. 왕복을 5시간 이내에 마치려면 올라갈 때 배의 속력이 시속 몇 km 이상이어야 하는지 구합니다.
비와 비율식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 내려가는 쪽은 모든 값이 정해져 있으니 먼저 계산해서 그 시간을 5시간에서 뺍니다. 남은 시간이 올라가는 데 쓸 수 있는 시간이 되고, 이것이 미지의 속력에 대한 부등식 하나가 됩니다. 마지막으로 자연수로 올림하고 바로 옆 값을 확인합니다.
1STEP 1
내려갈 때 실제 속력
강물을 따라 내려가면 물이 배를 함께 밀어 주므로, 실제 속력은 배의 속력에 강물의 속력을 더한 값입니다.
30 + 2 = 32
내려갈 때는 한 시간에 실제로 32 km씩 갑니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems2STEP 2
내려가는 데 걸리는 시간
시간은 거리를 속력으로 나눈 값입니다. (시간) = (km) ÷ (시속 km)
100/32 = 25/8
내려가는 데 25/8시간, 즉 3시간이 조금 넘게 걸립니다.
6.RP.A.3Analyze The Units3STEP 3
올라갈 때 쓸 수 있는 시간
5시간에서 내려가는 데 걸린 시간을 뺍니다.
5 - 25/8 = 15/8
올라가는 데는 많아야 15/8시간을 쓸 수 있습니다.
7.EE.B.4Identify Subproblems4STEP 4
부등식 세우기
올라갈 때 배의 속력을 시속 x km라 하면 실제 속력은 시속 (x - 2) km이고, 남은 시간 안에 가야 합니다.
100/(x - 2) ≤ 15/8
배가 빠를수록 왼쪽이 작아지므로, 이 부등식은 x의 아래쪽 한계를 정해 줍니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra자체 속력 로 거슬러 올라가면 배는 km를 시간에 가고, 이 시간이 남은 시간 안에 들어가야 한다.
왜?
한 시간마다 배는 물속에서 km를 나아가고 물은 배를 km 뒤로 실어 가므로, 강가를 기준으로 나아가는 속력은 그 차인 시속 km이다.
🧱간격은 속도의 차만큼 줄어든다두 물체가 같은 방향으로 움직이면 각각의 속도는 중요하지 않다 — 둘 사이 간격은 정확히 속도의 차만큼 줄어든다.
왜?
속력이 일정하면 시간은 거리를 속력으로 나눈 것이므로, km를 시속 km로 가면 시간이 걸린다.
🧱일정한 비율이 양과 시간을 묶는다어떤 일이 한결같은 비율로 일어나면 양은 비율에 시간을 곱한 것이므로, 셋 가운데 둘을 알면 나머지 하나가 정해진다.
왜?
왕복 시간은 내려가는 시간과 올라가는 시간의 합이므로, 올라가는 길에는 시간에서 남은 시간이 주어진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
5STEP 5
분모 없애기
배가 거슬러 올라가려면 x - 2 ＞ 0이어야 합니다. 양변에 양수 8(x - 2)를 곱해도 부등호의 방향은 그대로입니다.
800 ≤ 15(x - 2), 830 ≤ 15x, x ≥ 166/3 = 55 1/3
양수를 곱할 때는 부등호가 바뀌지 않습니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra6STEP 6
올림하고 확인하기
속력은 55 1/3 이상인 자연수이므로 가장 작은 값은 56입니다. 56과 바로 아래 55를 확인해 봅니다.
100/54 ≈ 1.852 ≤ 1.875, 100/53 ≈ 1.887 ＞ 1.875
시속 56 km이면 5시간 안에 왕복하지만, 시속 55 km이면 시간이 넘칩니다.
7.EE.B.4Guess And Check정답
시속 56 km 이상
시속 56 km이면 올라갈 때 실제 속력은 시속 54 km이고, 왕복 시간은 25/8 + 100/54 ≈ 3.125 + 1.852 = 4.977시간으로 5시간보다 조금 짧습니다. 내려가는 데 이미 3시간 넘게 썼으니, 올라갈 때 속력이 30보다 훨씬 커야 하는 것도 자연스럽습니다.
핵심 정리
이미 다 알고 있는 구간의 시간을 먼저 빼 두면, 남은 시간이 모르는 구간에 대한 깔끔한 부등식이 됩니다.
- 내려갈 때 실제 속력
- 내려가는 데 걸리는 시간
- 올라갈 때 쓸 수 있는 시간
- 부등식 세우기
- 분모 없애기
- 올림하고 확인하기
다음은 어디로?
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.