심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
원점 대칭을 이용해 한 사분면만 세고 두 배 한다.
색칠한 부분은 y=4x, y=(1/4)x, y=16/x의 그래프로 둘러싸여 있습니다. 경계를 포함하여 좌표가 모두 정수인 점을 셉니다. 세 그래프 모두 원점에 대하여 대칭이므로 제1사분면 부분만 세어 두 배 하고 원점을 더합니다.
비와 비율수 체계
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 대칭성으로 일을 절반으로 줄인 뒤, 정수 x마다 가능한 y의 최솟값과 최댓값을 구해 세로줄별로 빠짐없이 셉니다.
1STEP 1
꼭짓점 구하기
제1사분면에서 각 직선과 곡선의 교점을 구합니다.
4x = 16/x → x = 2, A(2, 8); (1/4)x = 16/x → x = 8, B(8, 2)
제1사분면 부분은 x = 0부터 x = 8까지입니다.
7.RP.A.2Identify Subproblems2STEP 2
세로줄마다 범위 정하기
정수 x가 1부터 8까지일 때 y는 x/4 ≤ y ≤ 4x이고 y ≤ 16/x이어야 합니다.
x/4 ≤ y ≤ min(4x, 16/x)
아래 경계는 직선 y=(1/4)x이고, 위 경계는 A까지는 y=4x, 그 뒤로는 곡선입니다.
7.RP.A.2Make A Systematic List3STEP 3
세로줄별로 세기
세로줄별로 세면 x=1에서 4개, x=2에서 8개, x=3에서 5개, x=4에서 4개, x=5에서 2개, x=6, 7, 8에서 1개씩입니다.
4 + 8 + 5 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 26
예를 들어 x=5이면 y ≥ 1.25, y ≤ 3.2이므로 y = 2, 3입니다.
6.NS.C.8Make A Systematic List4STEP 4
대칭 이용하기
그래프가 원점 대칭이므로 제3사분면에도 대칭인 26개가 있고, 공유하는 원점은 한 번만 셉니다.
26 × 2 + 1 = 53
(x, y)가 한쪽 부분에 있으면 (-x, -y)는 다른 쪽 부분에 있습니다.
6.NS.C.8Visualize Spatial Relationships제3사분면 영역의 격자점 수는 제1사분면 영역과 같으므로, 원점까지 합하면 이다.
왜?
를 로 보내는 O 중심의 반 바퀴 회전은 첫 번째 영역을 두 번째 영역에 꼭 맞게 옮긴다.
왜?
나 의 양변에 을 곱해도 등식은 유지되므로, 두 직선은 회전해도 그대로이다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
는 부호가 같은 두 수의 곱이라 와 같으므로 이 그대로 참이고, 곡선도 회전해도 그대로이다.
🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).
왜?
회전은 첫 번째 영역의 격자점 하나하나를 두 번째 영역의 격자점 하나씩과 짝지으므로, 두 번째 영역에도 개가 있다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
인 점, 인 점, 위의 점 O 하나는 서로 겹치지 않고 모두를 덮으므로 개수를 더하면 이다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
정답
53
경계를 확인합니다. (3, 5)는 xy = 15 ≤ 16이라 포함, (3, 6)은 18이라 제외, (4, 4)는 곡선 위라 포함, (5, 4)는 20이라 제외입니다. 꼭짓점 A(2, 8), B(8, 2)도 포함됩니다.
핵심 정리
대칭으로 세는 양을 반으로 줄이고, 세로줄별 목록으로 빠짐없이 세세요.
- 꼭짓점 구하기
- 세로줄마다 범위 정하기
- 세로줄별로 세기
- 대칭 이용하기
다음은 어디로?
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