문제
같은 면을 갖는 두 도형은 겹치는 면을 갖는다.
직사각형과 평행사변형을 아래 변을 맞대어 겹쳐 놓았습니다. 두 도형은 밑변의 길이(12 cm)도 같고 높이(7 cm)도 같습니다. 색칠한 그림은 두 도형이 함께 덮고 있는 전체 부분이고, 그 넓이가 132 cm²입니다. 선분 ㅅㄴ의 길이를 구해야 하는데, 이것은 두 도형이 겹치는 작은 삼각형에서 만나는 점 ㅅ에서 아래 변까지 수직으로 내린 높이입니다.
측정·데이터
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 두 도형을 그려 이름을 붙여 보면, 색칠한 전체 넓이가 두 넓이의 합에서 두 번 센 겹친 부분을 빼는 것임을 눈으로 알 수 있습니다(도구 1). 직사각형 넓이, 평행사변형 넓이, 겹친 삼각형 넓이로 작게 나누어 풉니다(도구 7). 색칠한 전체 넓이를 알고 있으므로 거꾸로 겹친 넓이를 찾고, 다시 삼각형 넓이 공식에서 거꾸로 높이 ㅅㄴ을 구합니다(도구 11). 각 미지수가 4학년이 할 수 있는 한 번의 분명한 계산으로 나오므로 대수(도구 13)는 쓰지 않습니다.
1STEP 1
직사각형의 넓이
직사각형 ㅁㄴㄷㄹ은 가로 12 cm, 세로 7 cm 입니다. 가로와 세로를 곱해 넓이를 구합니다.
12 × 7 = 84 cm²
직사각형의 넓이는 단위 정사각형의 줄 수와 칸 수를 곱한 것으로, 4학년의 기본 공식입니다.
4.MD.A.3Draw A Diagram2STEP 2
평행사변형의 넓이
평행사변형 ㄱㄴㄷㅂ은 직사각형과 같은 밑변 12 cm, 같은 높이 7 cm 위에 있습니다. 밑변 곱하기 높이로 넓이를 구합니다.
12 × 7 = 84 cm²
평행사변형은 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형으로 밀어 넣을 수 있으므로, 넓이는 밑변 곱하기 높이로 여기 직사각형과 같습니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram3STEP 3
거꾸로 풀어 겹친 넓이 구하기
두 도형을 더하면 겹친 곳을 두 번 세니, 84 + 84 - 겹침 = 132에서 겹침은 36이다.
84 + 84 - 겹친 부분 = 132 → 168 - 겹친 부분 = 132 → 겹친 부분 = 36 cm²
두 부분이 겹치면 공유한 부분은 양쪽 안에 모두 들어 있어, 두 넓이를 더하면 그 부분을 한 번 더 세게 됩니다. 그것을 다시 빼는 것은 간단한 뺄셈입니다.
3.MD.C.7Work Backwards겹친 삼각형의 넓이는 직사각형과 평행사변형을 더한 값에서 색칠한 부분을 뺀 값이다.
왜?
두 도형을 더하면 겹친 부분이 직사각형에서 한 번, 평행사변형에서 한 번 세어져 두 번 들어가지만, 색칠한 부분은 그것을 한 번만 센다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
그러므로 두 번 센 값과 실제 색칠한 넓이의 차이는 겹친 부분을 꼭 한 번 더 센 만큼이다.
왜?
색칠한 부분은 직사각형만인 곳, 평행사변형만인 곳, 겹친 곳으로 나뉘고 빠진 넓이도 두 번 센 넓이도 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
삼각형 넓이로 선분 ㅅㄴ 구하기
겹친 부분은 밑변 12인 삼각형 GBC라, 12 × GF ÷ 2 = 36에서 GF는 6 cm다.
12 × ㅅㄴ ÷ 2 = 36 → 12 × ㅅㄴ = 72 → ㅅㄴ = 6 cm
삼각형은 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형의 절반이므로, 절반 공식을 거꾸로 하면 알고 있는 넓이에서 빠진 높이를 되찾을 수 있습니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems정답
6 cm
답 6 cm는 길이이므로 선분 ㅅㄴ에 맞고, 도형의 전체 높이 7 cm 보다 작으므로 만나는 점 ㅅ이 그림처럼 윗변 아래에 있습니다. 확인: 삼각형 넓이 = 12 × 6 ÷ 2 = 36 cm², 그리고 84 + 84 - 36 = 132 cm² 로 주어진 색칠한 넓이와 정확히 같습니다.
핵심 정리
두 도형이 겹칠 때는 넓이를 더한 뒤 겹친 부분을 한 번 빼고, 삼각형 넓이 공식을 거꾸로 하면 빠진 높이를 찾을 수 있어요.
- 직사각형의 넓이
- 평행사변형의 넓이
- 거꾸로 풀어 겹친 넓이 구하기
- 삼각형 넓이로 선분 ㅅㄴ 구하기
다음은 어디로?
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