문제
모든 다각형은 몇 개의 삼각형으로 나뉘진다.
오각형은 변이 5개, 꼭짓점이 5개인 도형입니다. 이 다섯 개의 내각의 크기를 모두 더한 값을 구해야 합니다.
측정·데이터
내 답
도인가요?
조심 변의 개수를 그대로 180과 곱해 5 × 180 = 900도로 계산하기 쉽지만, 오각형 안에 실제로 들어가는 삼각형은 5개가 아니라 3개입니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 오각형을 여러 개의 삼각형으로 쪼갭니다. 삼각형 하나의 세 각의 합이 180도임을 이미 알고 있으므로, 오각형의 내각의 합은 삼각형의 개수에 180도를 곱한 값이 됩니다.
1STEP 1
오각형을 삼각형으로 나누기
한 꼭짓점에서 대각선을 그어 오각형을 3개의 삼각형으로 나눕니다.
5 sides → 5 - 2 = 3 triangles
한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 언제나 (변의 개수에서 2를 뺀) 만큼의 삼각형이 만들어집니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
삼각형들의 각의 합을 모두 더하기
삼각형 하나의 각의 합은 180도이고, 세 삼각형이 오각형 전체를 이룹니다. 그러므로 곱합니다.
3 × 180° = 540°
작은 삼각형의 각들이 다시 모여 오각형의 꼭짓점을 이루므로, 각의 크기들도 그대로 더해집니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems오각형의 다섯 내각을 모두 더하면 삼각형 세 개 몫의 각, 즉 가 된다.
왜?
세 삼각형이 오각형을 빈틈없이 딱 채우므로, 그 모든 꼭짓점 각을 합치면 오각형 전체의 각 합과 같다.
왜?
한 꼭짓점에서 그은 대각선이 오각형을 세 삼각형으로 나누는데 서로 겹치지도 빈틈이 남지도 않고 모든 삼각형의 꼭짓점이 오각형의 꼭짓점에 놓이므로 더해지거나 사라지는 것이 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
세 삼각형 각각이 180도의 각을 내놓는다.
왜?
평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
왜?
삼각형 세 개마다 180을 한 번씩 세는 것은 180의 같은 묶음 세 개이고, 그것이 바로 의 뜻이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
정답
540 도
3 × 180° = 540°
정오각형의 한 내각은 108도이고 5 x 108 = 540도이므로, 삼각분할로 구한 답과 일치합니다. 또한 변이 하나 더 많으므로 사각형의 360도보다 커야 하는데, 실제로 더 큽니다.
핵심 정리
어떤 도형이든 이미 잘 아는 삼각형으로 쪼갠 다음, 삼각형 하나마다 180도씩 더하기만 하면 오각형의 내각의 합을 찾을 수 있어요!
- 오각형을 삼각형으로 나누기
- 삼각형들의 각의 합을 모두 더하기