심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
ac=1이면 a, c는 같은 부호의 역수이다.
세 유리수 , , 가 , , 을 만족한다. 일 때, 세 유리수 , , 의 대소 관계를 구하시오.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 크기보다 부호를 먼저 정합니다. ac = 1이므로 abc는 곧 b와 같아 b의 부호가 정해집니다. 합의 조건이 a와 c를 양수로 만들고, 역수 관계 때문에 |a| ＜ 1이면 c ＞ 1입니다.
1STEP 1
a와 c는 부호가 같다
곱이 양수 1이므로 둘 다 양수이거나 둘 다 음수입니다.
ac = 1 ＞ 0
부호가 같을 때만 곱이 양수입니다.
7.NS.A.2Identify Subproblems2STEP 2
b의 부호
곱을 b × (ac)로 묶으면 ac = 1이므로 전체 곱은 b와 같습니다.
a × b × c = b × (ac) = b × 1 = b ＜ 0
abc ＜ 0은 곧 b ＜ 0이라는 뜻입니다.
7.NS.A.2Convert To Algebra곱 는 그냥 이므로 이다.
왜?
곱은 순서와 묶는 방법을 마음대로 바꿀 수 있으므로 이다.
왜?
와 의 순서를 바꿔도 곱은 같다.
🧱곱셈의 교환법칙a줄 b개와 b줄 a개는 같은 점 배열을 센다 — 가로세로만 바뀐다.
왜?
와 를 먼저 곱한 뒤 를 곱해도 다른 방법으로 묶은 것과 곱이 같다.
🧱곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.
왜?
이므로 곱은 이고, 을 곱해도 아무것도 바뀌지 않는다.
🧱곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
3STEP 3
a와 c의 부호
a + b + c ＞ 0에서 a + c ＞ -b이고 -b는 양수입니다. 따라서 a + c ＞ 0인데, a와 c가 모두 음수라면 불가능합니다.
a + c ＞ -b ＞ 0 → a ＞ 0, c ＞ 0
그러므로 a ＞ 0, c ＞ 0입니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems4STEP 4
a와 c 비교하기
c는 a의 역수입니다. 0 ＜ a ＜ 1이면 1을 1보다 작은 수로 나누므로 1보다 커집니다.
c = 1/a, 0 ＜ a ＜ 1 → c ＞ 1
예를 들어 a = 1/2이면 c = 2입니다.
7.NS.A.2Convert To Algebra5STEP 5
대소 정리하기
b는 음수, a는 0과 1 사이, c는 1보다 큽니다.
b ＜ 0 ＜ a ＜ 1 ＜ c
따라서 b ＜ a ＜ c입니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems정답
b ＜ a ＜ c
a = 1/2, c = 2, b = -1로 확인하면 ac = 1, abc = -1 ＜ 0, a + b + c = 3/2 ＞ 0, |a| ＜ 1이고, -1 ＜ 1/2 ＜ 2이므로 b ＜ a ＜ c입니다.
핵심 정리
곱이 1인 두 수는 부호가 같고, 한쪽이 작으면 다른 쪽은 큽니다.
- a와 c는 부호가 같다
- b의 부호
- a와 c의 부호
- a와 c 비교하기
- 대소 정리하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.