문제
한 원의 반지름을 두 변으로 하는 삼각형은 이등변삼각형이다
점 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 중심이 ㅇ인 원 위에 있습니다. 반지름 ㅇㄱ, ㅇㄴ, ㅇㄷ과 현을 그었고, 점 ㄴ에서 각 ㄱㄴㅇ = 15도, 각 ㅇㄴㄷ = 30도입니다. 점 ㄱ에서의 각 ㉠(각 ㅇㄱㄷ)의 크기를 구하는 문제입니다.
측정·데이터도형
내 답
°인가요?
조심 큰 삼각형의 각 ㄱ을 그냥 ㉠으로 생각하기 쉽지만, 실제로는 각 ㄴㄱㅇ + 각 ㅇㄱㄷ = 15 + ㉠이므로 이렇게 착각하면 식이 어긋나 잘못된 값이 나옵니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 반지름이 도형을 세 개의 이등변삼각형으로 나누므로 각각을 작은 문제로 다룹니다. 같은 밑각을 이용해 큰 삼각형 ㄱㄴㄷ의 각들을 ㉠으로 나타낸 뒤, 그 합을 180도로 놓고 ㉠을 구합니다.
1STEP 1
삼각형 ㅇㄱㄴ은 이등변삼각형
ㅇㄱ=ㅇㄴ(반지름)이므로 삼각형 ㅇㄱㄴ은 이등변삼각형, 각 ㅇㄱㄴ=각 ㄱㄴㅇ=15도.
∠ ㅇㄱㄴ = ∠ ㄱㄴㅇ = 15°
반지름 두 개는 길이가 같으므로 그것으로 만든 삼각형은 밑각이 같은 이등변삼각형입니다.
4.G.A.2Identify Subproblems삼각형 OAB의 두 밑각은 같으므로 각 OAB와 각 OBA는 같다 (둘 다 15도).
왜?
삼각형 OAB는 길이가 같은 두 변 OA와 OB 위에 서 있어서, O에서 각을 반으로 가르는 직선을 기준으로 좌우가 대칭이다.
왜?
그 직선을 따라 삼각형을 접으면 길이가 같은 변 OA와 OB가 서로 정확히 포개져서, 꼭짓점 A가 꼭짓점 B 위에 딱 내려앉는다.
왜?
꼭짓점 A가 꼭짓점 B에 포개지면 A의 밑각이 B의 밑각 위에 그대로 놓이고, 접어도 각의 크기는 변하지 않으므로 두 밑각은 같다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
변 OA와 OB는 같은 원의 반지름으로, 각각 중심 O에서 그 원 위의 한 점까지 그은 것이므로 길이가 같다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
2STEP 2
삼각형 ㅇㄴㄷ은 이등변삼각형
ㅇㄴ과 ㅇㄷ은 반지름이므로 ㅇㄴ = ㅇㄷ이고 삼각형 ㅇㄴㄷ은 이등변삼각형입니다. 두 밑각이 같으므로 각 ㅇㄷㄴ = 각 ㅇㄴㄷ = 30도입니다.
∠ ㅇㄷㄴ = ∠ ㅇㄴㄷ = 30°
같은 반지름이라는 같은 생각으로 두 번째 삼각형도 이등변삼각형이 됩니다.
4.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
삼각형 ㅇㄱㄷ도 이등변삼각형이라 두 밑각이 모두 ㉠
ㅇㄱ과 ㅇㄷ은 반지름이므로 ㅇㄱ = ㅇㄷ이고 삼각형 ㅇㄱㄷ은 이등변삼각형입니다. 두 밑각이 같으므로 각 ㅇㄷㄱ = 각 ㅇㄱㄷ = ㉠입니다.
∠ ㅇㄷㄱ = ∠ ㅇㄱㄷ = ㉠
세 번째 반지름 짝이 이등변삼각형을 하나 더 만들어 같은 두 각을 만드는데, 둘 다 ㉠입니다.
4.G.A.2Identify Subproblems4STEP 4
삼각형 ㄱㄴㄷ의 각을 더해 ㉠ 구하기
삼각형 ㄱㄴㄷ: 각 ㄴ=45도, 각 ㄱ=15+㉠, 각 ㄷ=30+㉠; 합이 180도이므로 90+2㉠=180, ㉠=45도.
45° + (15° + ㉠) + (30° + ㉠) = 180° → 2㉠ = 90° → ㉠ = 45°
큰 삼각형의 각을 아는 부분 더하기 ㉠으로 나타낸 뒤 180도 합을 쓰면 ㉠이 정해집니다.
4.MD.C.7Convert To Algebra정답
45 °
45° + (15° + ㉠) + (30° + ㉠) = 180° → 2㉠ = 90° → ㉠ = 45°
㉠ = 45도일 때 삼각형 ㄱㄴㄷ의 각은 점 ㄴ에서 45도, 점 ㄱ에서 60도(15+45), 점 ㄷ에서 75도(30+45)로 합이 180도가 됩니다. 따로 확인해 보면 점 ㅇ에서의 세 중심각도 한 바퀴를 이룹니다: 150(ㄱㅇㄴ) + 120(ㄴㅇㄷ) + 90(ㄱㅇㄷ) = 360도.
핵심 정리
이미 배운 4학년 각 더하기와 같은 반지름 두 개가 이등변삼각형을 만든다는 사실만 있으면 풀 수 있어요!
- 삼각형 ㅇㄱㄴ은 이등변삼각형
- 삼각형 ㅇㄴㄷ은 이등변삼각형
- 삼각형 ㅇㄱㄷ도 이등변삼각형이라 두 밑각이 모두 ㉠
- 삼각형 ㄱㄴㄷ의 각을 더해 ㉠ 구하기
다음은 어디로?