심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
움직이는 삼각형의 넓이를 사다리꼴에서 양쪽 직각삼각형을 뺀 식으로 나타낸다.
∠ A와 ∠ B가 직각이고 AD = 10 cm, AB = 12 cm, BC = 15 cm인 사다리꼴 ABCD에서 점 P가 변 AB 위를 움직입니다. △ DPC의 넓이가 사다리꼴 넓이의 8/15 이하가 되는 BP의 범위를 구합니다.
식·방정식도형
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 비스듬히 놓인 △ DPC는 바로 재기 어렵지만, 사다리꼴에서 나머지 부분은 두 변을 따라 놓인 직각삼각형 두 개입니다. 사다리꼴에서 이 둘을 빼서 색칠한 넓이를 BP에 대한 식으로 나타내고, 넓이 부등식을 풉니다.
1STEP 1
사다리꼴의 넓이
평행한 두 변은 AD와 BC이고, 높이는 AB입니다.
1/2 × (10 + 15) × 12 = 150
사다리꼴의 넓이는 150 cm²입니다.
6.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
남은 두 직각삼각형
BP = x cm, AP = (12 - x) cm라 하면, 두 직각삼각형은 두 변이 곧 밑변과 높이입니다.
△ APD = 1/2 × 10 × (12 - x) = 60 - 5x, △ PBC = 1/2 × 15 × x = (15/2)x
이 두 삼각형과 △ DPC를 합치면 사다리꼴이 꼭 채워집니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement3STEP 3
색칠한 삼각형의 넓이
사다리꼴에서 두 직각삼각형을 뺍니다.
△ DPC = 150 - (60 - 5x + (15/2)x) = 90 - (5/2)x
점 P가 B에서 위로 올라갈수록 색칠한 넓이는 90에서 일정하게 줄어듭니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra색칠한 의 넓이는 사다리꼴의 넓이에서 두 직각삼각형 와 의 넓이를 뺀 것이다.
왜?
선분 와 는 사다리꼴을 빈틈도 겹침도 없이 세 삼각형으로 나누므로, 세 넓이를 더하면 사다리꼴의 넓이가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
양쪽 귀퉁이 삼각형은 나 에서 직각이므로 두 변이 밑변과 높이가 되어, 넓이는 그 곱의 절반이다.
🧱삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반삼각형 두 개를 맞추면 같은 밑변의 평행사변형이 되므로, 삼각형 하나는 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.
왜?
전체에서 두 귀퉁이 넓이를 다시 빼면 더했던 것이 되돌려져 색칠한 넓이만 남는다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
4STEP 4
넓이 조건 풀기
색칠한 넓이가 150의 8/15, 즉 80 이하여야 합니다.
90 - (5/2)x ≤ 150 × 8/15 = 80 → 10 ≤ (5/2)x → x ≥ 4
점 P는 B에서 4 cm 이상 떨어져 있어야 합니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra5STEP 5
P가 움직이는 범위와 합치기
점 P는 길이가 12 cm인 변 AB 위에 있으므로 x는 12를 넘을 수 없습니다.
4 ≤ x ≤ 12
B에서 4 cm 위부터 A까지 모든 위치가 조건을 만족합니다.
7.EE.B.4Draw A Diagram정답
4 cm 이상 12 cm 이하 (4 ≤ BP ≤ 12)
x = 4이면 색칠한 넓이는 90 - 10 = 80 = 8/15 × 150으로 딱 경계입니다. x = 12(P가 A)이면 90 - 30 = 60으로 △ DAC의 넓이 1/2 × 10 × 12와 같습니다. x = 0(P가 B)이면 90 = 1/2 × 15 × 12로 너무 큽니다.
핵심 정리
재기 어려운 도형은 그 둘레에 남는 부분을 재서 빼면 됩니다.
- 사다리꼴의 넓이
- 남은 두 직각삼각형
- 색칠한 삼각형의 넓이
- 넓이 조건 풀기
- P가 움직이는 범위와 합치기
다음은 어디로?
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