두 분수를 곱해 자연수가 되는 가장 작은 분수는 (분모의 최소공배수)/(분자의 최대공약수)

분수가 자연수가 되려면 분모의 소인수가 모두 분자의 같은 소인수와 약분되어야 하고, 각 수의 소인수분해는 하나뿐이라 그것만 확인하면 된다.

$\frac{p}{q} \times \frac{15}{8}$에서 $8$의 $2$ 세 개는 $15$에서 $2$를 찾지 못하므로 모두 $p$에서 와야 하고, $\frac{p}{q} \times \frac{12}{5}$에서 $5$도 $12$에서 찾지 못하므로 $p$에서 와야 한다.

기약분수라서 $p$와 $q$는 공통 소인수가 없으므로, $q$의 소인수는 모두 $15$에서도, $12$에서도 약분되어야 하고, 따라서 $q$는 두 수를 모두 나눈다.