문제
면은 선으로 둘러싸이고, 선은 점을 이어 그린다.
평평한 전개도를 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 통을 만든다. 물을 담고 통을 한쪽으로 기울여 바닥의 한 모서리로 세우면, 물이 가장 낮은 곳으로 모이면서 그 표면이 비스듬한 평면을 이룬다. 물이 정확히 어떤 면의 어느 부분에 닿는지 알아낸 다음, 같은 통의 십자 모양 전개도에 그 젖은 부분을 색칠해야 한다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 접고 기울이는 문제이므로 핵심은 머릿속에서 입체 통을 떠올려(필요하면 직접 만들어) 물이 어디에 고이는지 본 뒤, 각 면을 평평한 전개도로 되돌려 대응시키는 것이다. 기울임을 상상하고, 입체에서 젖은 면을 표시한 다음, 그 표시를 십자 전개도로 펼쳐 각 접는 모서리를 가로질러 색칠이 맞아떨어지게 한다.
1STEP 1
뚜껑 없는 통의 면 5개 이름 붙이기
십자 모양은 바닥 하나와 벽 넷으로 접혀, 면이 5개이고 위는 열려 있다.
전개도에서 면을 세는 것은 오려낸 정사각형 하나하나를 접은 통의 면 하나와 짝지어 보는 것일 뿐이다. 가운데가 바닥, 팔이 벽이다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships2STEP 2
통을 기울일 때 물이 모이는 곳 보기
아래 모서리 하나로 기울이면 물이 그쪽에 고여 윗면이 비스듬한 쐐기가 된다.
물이 든 컵을 기울이면 물은 낮은 쪽으로 미끄러지지만 표면은 평평하게 유지된다. 그것이 바로 보이는 비스듬한 평면이다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships3STEP 3
물 쐐기가 닿는 면 정하기
쐐기는 바닥과 낮은 모서리에서 만나는 두 벽에 닿는다. 5면 중 3면이다.
기울인 열린 통에 물을 부어 보면 바닥은 전부 덮이고, 가까운 두 벽은 비스듬한 선까지 젖으며, 먼 벽은 마른 채로 남는다.
6.G.A.4Create A Physical Representation4STEP 4
젖은 부분의 모양 찾기
바닥은 전체가 젖고, 가까운 두 벽은 접힌 모서리에 선 삼각형만큼 젖는다.
비스듬한 평평한 수면은 각 벽을 직선으로 자르므로, 그 아래에 젖은 삼각형이 남는다.
6.G.A.4Draw A Diagram5STEP 5
십자 모양 전개도에 색칠하기
펼친 뒤 가운데 정사각형은 통째로, 이웃한 두 날개에는 삼각형 하나씩 칠한다.
통에서 접는 모서리를 가로질러 맞닿는 것은 전개도에서도 같은 모서리를 가로질러 맞닿아야 한다. 다시 접으면 색이 맞아떨어진다.
6.G.A.4Draw A Diagram상자를 펼치면 젖은 부분이 저마다 전개도의 제 정사각형 위로 모양 그대로 놓인다.
왜?
펼치기는 접기를 거꾸로 하는 것일 뿐이고 둘 다 면을 늘이거나 찢지 않으므로, 모든 부분이 모양과 크기를 그대로 지킨다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
상자의 면 하나가 전개도의 정사각형 하나이므로, 어떤 면의 젖은 자리는 바로 그 정사각형 위의 자리가 되고 다른 데로 가지 않는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
정답
전개도의 가운데 정사각형(바닥면)을 모두 칠하고, 그 바닥면과 맞닿아 가장 낮은 모서리에서 만나는 두 옆면에는 접는 선에 붙은 삼각형 모양으로 각각 칠합니다. 나머지 두 옆면과 뚫린 윗면은 칠하지 않습니다 — 다섯 면 중 세 면에 물이 닿습니다.
통은 면이 5개다(뚜껑 없음). 물이 한 모서리 구석으로 내려가면 바닥을 덮고 그 구석을 이루는 두 벽에 기대므로, 젖은 면이 3개인 것은 정확히 예상되는 결과다. 5개 전부가 아니고(높은 벽들과 열린 윗부분은 마름) 1개만도 아니다. 젖은 두 벽이 삼각형인 까닭은 평평한 비스듬한 수면이 벽을 직선으로 자르기 때문이다. 모두 그림 속 파란 쐐기와 일치한다.
핵심 정리
물은 언제나 가장 낮은 구석으로 미끄러진다. 바닥을 덮고 거기서 만나는 두 벽을 적시므로, 펼친 전개도에서는 바닥과 삼각형 두 개를 색칠한다.
- 뚜껑 없는 통의 면 5개 이름 붙이기
- 통을 기울일 때 물이 모이는 곳 보기
- 물 쐐기가 닿는 면 정하기
- 젖은 부분의 모양 찾기
- 십자 모양 전개도에 색칠하기