심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
분모와 분자에 같은 수를 곱하면 분수의 크기는 같다.
기약분수로 나타내면 4/7이 되는 분수를 찾아야 한다. 그런 분수들 중에서 분모가 분자보다 정확히 15만큼 큰 분수를 구한다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 4/7과 크기가 같은 분수는 모두 분자 4와 분모 7에 같은 수를 곱해 만든 것이다. 그래서 4/7, 8/14, 12/21, ... 처럼 뚜렷한 패턴이 생긴다. 같은 수를 곱할수록 분모와 분자의 차가 어떻게 커지는지 살펴보면 곱해야 할 수를 바로 찾을 수 있고, 그 수를 추측하고 확인해서 차가 15가 되는지 확인할 수 있다.
1STEP 1
크기가 같은 분수 나열하기
분자와 분모에 같은 수를 곱해도 4/7의 값은 그대로라 8/14, 12/21처럼 이어진다.
4/7, 8/14, 12/21, 16/28, 20/35
분자와 분모에 같은 수를 곱하기만 하면 크기가 같은 분수를 만들 수 있는데, 이는 같은 요리를 양만 늘리는 것과 같다.
4.NF.A.1Look For A Pattern2STEP 2
분모와 분자의 차 살펴보기
분모에서 분자를 빼면 3, 6, 9가 되어, 차이는 언제나 곱한 수의 3배다.
7k-4k=3k
두 수에 같은 수를 곱하면 그 차도 같은 수만큼 곱해지므로, 차는 3씩 늘어나는 쉬운 패턴을 따른다.
3.NF.A.3Look For A Pattern4/7와 같은 분수라면 어느 것이든 분모에서 분자를 뺀 값은 곱한 수의 3배다.
왜?
분자와 분모에 같은 수를 곱해도 분수의 값은 그대로이므로, 이들은 모두 정말 4/7이다.
왜?
같은 수를 위아래에 쓴 것은 1이고, 1을 곱하면 아무것도 바뀌지 않는다.
🧱곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
왜?
분자와 분모가 같은 수만큼 늘어나므로 둘 사이의 거리도 그 수만큼 늘어나고, 처음 거리는 3이었다.
왜?
분모는 분자에 그 거리를 더한 것이므로, 전체에 곱하면 분자 부분과 거리 부분에 똑같이 곱해진다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
3STEP 3
차가 15가 되는 곱하는 수 찾기
차이가 15가 되려면 곱한 수가 15 ÷ 3 = 5여야 한다.
3k=15 → k=5
3씩 뛰어 세면(3, 6, 9, 12, 15) 다섯 번째에 15에 도달하므로 5를 곱하는 것이 답이다.
4.NF.A.1Guess And Check4STEP 4
분수 만들기
4와 7에 각각 5를 곱해 분자와 분모를 구한다.
(4 × 5)/(7 × 5)=20/35
곱할 수만 알면, 4와 7에 그 수를 곱해 분수를 바로 얻을 수 있다.
4.NF.A.1Guess And Check정답
두 조건을 확인한다. 35에서 20을 빼면 15이고, 20/35는 분자와 분모를 5로 나누면 4/7이 된다. 두 조건이 모두 맞으므로 20/35가 정답이다.
핵심 정리
크기가 같은 분수는 분자와 분모에 같은 수를 곱해 만들고, 둘의 차도 그 곱한 수만큼 커진다.
- 크기가 같은 분수 나열하기
- 분모와 분자의 차 살펴보기
- 차가 15가 되는 곱하는 수 찾기
- 분수 만들기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Multiplicative Ratio with Integrality Constraints, Small-Domain Constrained Search. 왜 같은 골격이 반복되는지 →