심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
옮길 때마다 소금물 양과 소금 양을 따로 추적하면 마지막 농도로 식 두 개를 세울 수 있다.
800 g씩 든 두 비커의 소금물을 A에서 B로, 다시 B에서 A로 반씩 옮깁니다. 마지막 농도는 A가 12%, B가 8%입니다. 처음 농도 a%, b%를 구해야 합니다.
식·방정식비와 비율
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 과정을 두 번의 옮기기로 나누고, 매번 각 비커의 소금물 양과 소금 양을 함께 적어 둡니다. 그러면 마지막 농도가 a, b에 대한 식 두 개가 됩니다.
1STEP 1
소금의 양으로 시작하기
800 g의 a%는 소금 8a g, 800 g의 b%는 소금 8b g입니다.
a/100 × 800 = 8a, b/100 × 800 = 8b
농도끼리는 더할 수 없지만 소금의 양은 더할 수 있습니다.
7.RP.A.3Organize Information In More Ways2STEP 2
첫째 옮기기: A에서 B로
A의 반 400 g에는 소금 4a g이 있습니다. A는 400 g에 소금 4a g, B는 1200 g에 소금 4a + 8b g이 됩니다.
A: 400 g, 소금 4a g; B: 1200 g, 소금 (4a + 8b) g
옮긴 반에는 A의 소금도 반이 들어 있습니다.
7.RP.A.3Identify Subproblems3STEP 3
둘째 옮기기: B에서 A로
B의 반 600 g에는 소금 2a + 4b g이 있어, A는 1000 g에 소금 6a + 4b g, B는 600 g에 2a + 4b g입니다.
A: 1000 g, 소금 (6a + 4b) g; B: 600 g, 소금 (2a + 4b) g
잘 섞었으므로 덜어 낸 반에는 소금도 정확히 반이 들어 있습니다.
7.RP.A.3Identify Subproblems두 번째로 부은 뒤 비커 A에는 소금이 g, 비커 B에는 g 들어 있다.
왜?
는 g마다 소금이 g이라는 뜻이므로 g에는 소금 g이 있고, 비커 B는 소금 g으로 시작한다.
🧱퍼센트는 백에 대한 개수어떤 것의 70퍼센트라는 말은 그것 백 개마다 70개라는 말이므로, 퍼센트는 분모가 100인 분수일 뿐이다.
왜?
잘 섞으면 소금이 고르게 퍼져 있으므로 소금물의 절반을 부으면 소금도 절반이 옮겨 간다. 그래서 A에서 g이 나가고, 나중에 B의 g 중 절반인 g이 B에서 나간다.
왜?
고르게 섞인 소금은 소금물과 일정한 비를 이루므로 소금물의 절반에는 소금도 절반이 들어 있다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
왜?
의 절반은 의 절반과 의 절반을 더한 것이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
소금은 없어지지 않고 옮겨질 뿐이므로 A에는 남겨 둔 g과 부어 받은 g을 더한 만큼이 있고, B에는 소금의 나머지 절반이 남는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
마지막 농도로 식 세우기
1000 g의 12%는 120 g, 600 g의 8%는 48 g입니다.
6a + 4b = 120, 3a + 2b = 60; 2a + 4b = 48, a + 2b = 24
비커마다 소금의 양에 대한 식이 하나씩 나옵니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra5STEP 5
풀기
첫째 식에서 둘째 식을 빼고 대입합니다.
2a = 36, a = 18; 18 + 2b = 24, b = 3
2b가 같으므로 한 번 빼면 a만 남습니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra정답
a = 18, b = 3
처음 소금은 A에 144 g, B에 24 g입니다. 첫째 옮기기 후 A는 400 g에 72 g, B는 1200 g에 96 g입니다. B의 반인 600 g(소금 48 g)을 A로 옮기면 A는 1000 g에 120 g으로 12%, B는 600 g에 48 g으로 8%입니다.
핵심 정리
섞는 문제는 소금의 양을 단계마다 따라가고, 백분율은 맨 마지막에만 다시 꺼냅니다.
- 소금의 양으로 시작하기
- 첫째 옮기기: A에서 B로
- 둘째 옮기기: B에서 A로
- 마지막 농도로 식 세우기
- 풀기
다음은 어디로?
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition. 왜 같은 골격이 반복되는지 →