심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
등식 조건으로 분모를 18의 배수 꼴로 묶고, 부등식으로 범위를 좁힌 뒤 기약 조건으로 고른다.
분자와 분모가 자연수인 기약분수 중에서, 분모에 3을 더하면 5/18과 같아지고 분자에 3을 더하면 1/3보다 커지는 분수를 구합니다.
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 등식 조건으로 분수의 꼴을 자연수 k 하나로 나타낼 수 있습니다. 그다음 부등식 조건으로 k를 몇 개로 좁히고, 기약분수라는 조건으로 하나를 고릅니다.
1STEP 1
분수를 문자로 놓기
구하는 분수를 y/x라 합니다. x, y는 서로소인 자연수입니다. 첫째 조건을 식으로 쓰면 다음과 같습니다.
y/(x + 3) = 5/18 → 18y = 5(x + 3)
두 분수가 같다는 조건을 곱셈 꼴의 등식 하나로 바꿉니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra2STEP 2
5와 18이 서로소임을 이용하기
18y는 5의 배수인데 18과 5는 공약수가 없으므로 y가 5의 배수입니다. y = 5k로 놓으면 x + 3 = 18k입니다.
y = 5k, x = 18k - 3 (k = 1, 2, 3, …)
5/18과 같은 분수는 모두 5k/(18k) 꼴입니다.
6.NS.B.4Convert To Algebra에서 는 의 배수여야 하므로 로 두면 이다.
왜?
는 과 같으므로 의 소인수 가운데 가 있다.
왜?
에는 가 없고, 수는 어떻게 쪼개도 같은 소수들로 나뉘므로 그 는 에서 와야 한다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
왜?
이면 식은 이 되고, 양변을 같은 로 나누어도 같음이 유지되므로 이 남는다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
3STEP 3
둘째 조건을 k에 대한 부등식으로
분자에 3을 더한 분수가 1/3보다 커야 합니다. 분모가 양수이므로 곱해도 방향은 그대로입니다.
(5k + 3)/(18k - 3) ＞ 1/3 → 15k + 9 ＞ 18k - 3 → 12 ＞ 3k → k ＜ 4
가능한 k는 1, 2, 3뿐입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
후보 나열하기
k = 1, 2, 3을 5k/(18k - 3)에 넣습니다.
5/15, 10/33, 15/51
두 조건을 모두 만족하는 분수는 이 세 개뿐입니다.
7.EE.B.4Make A Systematic List5STEP 5
기약분수만 남기기
5/15는 공약수 5로, 15/51은 공약수 3으로 약분됩니다. 10과 33은 1 이외의 공약수가 없습니다.
gcd(5, 15) = 5, gcd(10, 33) = 1, gcd(15, 51) = 3
이미 기약분수인 것은 10/33뿐입니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities정답
10/33
분모에 3을 더하면 10/36 = 5/18이고, 분자에 3을 더하면 13/33 ＞ 11/33 = 1/3입니다. 두 조건을 모두 만족하고 더 약분되지도 않습니다.
핵심 정리
등식은 답의 꼴을, 부등식은 찾을 범위를, 기약분수 조건은 그중 무엇을 고를지를 알려 줍니다.
- 분수를 문자로 놓기
- 5와 18이 서로소임을 이용하기
- 둘째 조건을 k에 대한 부등식으로
- 후보 나열하기
- 기약분수만 남기기
다음은 어디로?
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