심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
분모가 같아야 분수의 순서를 알 수 있다.
분모가 72인 분수 중에서 3/8보다 크고 4/9보다 작은 분수를 빠짐없이 찾아야 한다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 두 경계 분수를 분모 72로 통분하면, 문제는 결국 분자에 관한 간단한 질문으로 바뀐다. 즉 두 경계의 분자 사이에 오는 자연수가 무엇인지만 찾으면 된다. 그 분자들을 차례대로 72 위에 올려 나열하면 끝이다. 8과 9가 모두 72를 나누어떨어지게 하므로 72가 자연스러운 공통분모가 된다.
1STEP 1
아래쪽 경계를 분모 72로 통분하기
72 = 8 x 9이므로 3/8의 분자와 분모에 9를 곱해 분모를 72로 만든다.
3/8 = (3 × 9)/(8 × 9) = 27/72
분자와 분모에 같은 수를 곱하면 크기는 그대로이고, 조각만 더 잘게 나뉜 같은 분수가 된다.
4.NF.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
위쪽 경계를 분모 72로 통분하기
4/9의 분자와 분모에 8을 곱해 분모를 72로 만든다.
4/9 = (4 × 8)/(9 × 8) = 32/72
같은 방법이다. 크기가 같은 분수로 바꾸면 두 경계를 같은 크기의 조각으로 비교할 수 있다.
4.NF.A.1Solve An Easier Related Problem3STEP 3
같은 크기의 조각으로 비교하기
이제 모든 분수의 분모가 같으므로, 분자가 27보다 크고 32보다 작기만 하면 된다.
27/72 ＜ n/72 ＜ 32/72
조각의 크기가 모두 같을 때는 조각이 많을수록 곧 더 큰 분수다.
4.NF.A.2Make A Systematic List모든 분수를 분모 72로 고쳐 쓰고 나면 비교할 것은 분자뿐이다.
왜?
분모가 72라는 것은 전체를 똑같은 72조각으로 나누었다는 뜻이므로, 각 분수는 그 같은 크기 조각을 몇 개 세었는지일 뿐이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
조각 크기가 모두 같으면 조각 수가 많은 쪽이 언제나 전체에서 더 많은 몫이다.
왜?
조각을 나란히 놓으면 이쪽 조각 하나가 저쪽 조각 하나와 짝지어지므로, 조각이 남는 쪽이 더 많은 쪽이다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
27과 32 사이의 자연수 분자 나열하기
27과 32 사이에 오는 자연수는 28, 29, 30, 31이고, 이들을 각각 72 위에 올리면 된다.
n = 28, 29, 30, 31
사이에 오는 자연수를 차례대로 나열하면 빠뜨리지도 않고 경계값을 포함하지도 않는다.
4.NF.A.2Make A Systematic List정답
, , ,
각 답은 27/72과 32/72 사이에 있으므로 모두 3/8보다 크고 4/9보다 작다. 경계인 27/72(=3/8)과 32/72(=4/9)는 '크고', '작은' 조건이므로 올바르게 제외되었다.
핵심 정리
모든 분수의 분모를 같게 맞추면, 분자만 보고도 한눈에 순서를 알 수 있다.
- 아래쪽 경계를 분모 72로 통분하기
- 위쪽 경계를 분모 72로 통분하기
- 같은 크기의 조각으로 비교하기
- 27과 32 사이의 자연수 분자 나열하기
다음은 어디로?
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