심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
작은 도형들이 모여 큰 도형이 된다.
크기가 같은 성냥개비 개로 오른쪽 그림과 같은 모양을 만들었습니다. 이 모양에서 찾을 수 있는 크고 작은 정삼각형은 모두 몇 개인지 구하시오.
도형
내 답
조심 위쪽을 향한 삼각형만 세고 그 사이에 있는 아래쪽(뒤집힌) 삼각형은 놓치기 쉽습니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 여러 도형이 겹쳐진 모양은 작은 문제로 쪼개어 세는 것이 가장 쉽습니다. 크기별로 세고, 각 크기 안에서 위쪽과 아래쪽 삼각형을 나누어 셉니다. 각 묶음을 빠짐없이 나열하고 크기에 따른 규칙을 살피면 빠짐없이 정리되어 셀 수 있습니다.
1STEP 1
한 변이 1인 위쪽 삼각형 세기
위에서 아래로 줄별로 세면 가장 작은 위쪽 삼각형은 1 + 2 + 3 = 6개입니다.
1 + 2 + 3 = 6
4학년 학생은 한 칸짜리 정삼각형을 찾아 줄별로 더할 수 있습니다.
4.G.A.2Make A Systematic List2STEP 2
한 변이 1인 아래쪽 삼각형 세기
위쪽 삼각형 사이의 뒤집힌 삼각형은 둘째 줄에 1개, 셋째 줄에 2개로, 1 + 2 = 3개입니다.
1 + 2 = 3
아래쪽 삼각형을 따로 떼어 작은 문제로 보면 눈에 잘 띄고 빠뜨리지 않습니다.
4.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
한 변이 2인 위쪽 삼각형 세기
한 변 2인 위쪽 삼각형은 작은 삼각형 4개를 덮고, 이 격자엔 3개가 들어갑니다(아래쪽은 없음).
한 변 2 위쪽 = 3, 한 변 2 아래쪽 = 0
크기마다 따로 작은 문제로 확인하면 눈이 지나치기 쉬운 큰 삼각형도 빠뜨리지 않습니다.
4.G.A.2Identify Subproblems4STEP 4
한 변이 3인 삼각형을 세고 모두 더하기
모양 전체가 한 변 3인 삼각형 1개, 합계 6 + 3 + 3 + 1 = 13개.
6 + 3 + 3 + 1 = 13
크기별로 정리하면 분명한 규칙이 보이고, 각 묶음의 작은 합을 그냥 더해 답을 얻습니다.
4.G.A.2Look For A Pattern도형 속 정삼각형의 총 개수는 크기와 방향으로 나눈 각 무리의 개수를 모두 더한 값과 같다.
왜?
그 무리들은 도형 안의 모든 정삼각형을 빠짐없이 담고 있고, 어떤 삼각형도 두 무리에 동시에 들어가지 않는다.
왜?
각 삼각형은 크기가 하나로 정해져 있고 향하는 방향도 하나로 정해져 있어서, 자기 크기와 방향의 무리에 딱 한 번만 놓이고 빠지는 것이 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
각 무리의 개수가 6, 3, 3, 1로 정해지면 전부 몇 개인지는 이 네 개수를 더하기만 하면 된다.
왜?
네 개의 무더기를 하나의 합으로 모을 때 어느 둘을 먼저 합치든 최종 합은 바뀌지 않는다.
🧱덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.
정답
13 개
6 + 3 + 3 + 1 = 13
13개는 가장 작은 삼각형 6개보다 많은데, 뒤집힌 삼각형과 중간 크기(한 변 2)의 삼각형, 그리고 바깥 큰 삼각형까지 넣으면 당연한 결과입니다. 셈은 유한하고 6보다 충분히 크지만 더 큰 격자에서 보이는 수십 개보다는 훨씬 적으므로, 한 변이 3인 모양에 잘 맞습니다.
핵심 정리
이미 배운 4학년 도형 감각과 크기별로 깔끔하게 세는 방법만 있으면 풀 수 있어요!
- 한 변이 1인 위쪽 삼각형 세기
- 한 변이 1인 아래쪽 삼각형 세기
- 한 변이 2인 위쪽 삼각형 세기
- 한 변이 3인 삼각형을 세고 모두 더하기
다음은 어디로?
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