심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
계수의 부호로 모르는 지수가 짝수인지부터 정한다.
에서 자연수 , , 의 값의 합을 구하시오. (단, )
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 좌변의 부호는 a가 짝수인지 홀수인지에만 달려 있으니 부호를 맞춰 a부터 정합니다. a를 알면 좌변을 간단히 하고 x, y의 지수를 비교합니다.
1STEP 1
부호부터 보기
음의 부호는 (-x³/y)^a에서만 생기므로 좌변의 계수는 (-1)^a÷1/4입니다.
(-1)^a×4=4 → (-1)^a=1
음수를 홀수 번 곱하면 음수, 짝수 번 곱하면 양수입니다.
7.NS.A.2Eliminate Possibilities왼쪽의 계수가 양수가 되는 것은 일 때, 곧 가 짝수일 때뿐이다.
왜?
가운데 인수에는 음의 부호가 없고 마지막 인수는 제곱이라 두 음의 부호가 곱해져 양이 되므로 둘 다 결과를 음수로 만들 수 없다.
🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).
왜?
는 을 번 곱한 것이고, 두 개를 곱할 때마다 이 된다.
왜?
거듭제곱은 같은 수를 몇 번 곱했는지를 센다.
🧱지수는 반복해서 곱한 횟수지수는 어떤 인수를 몇 번 썼는지만 기록하므로, 밑이 같은 두 거듭제곱을 곱하면 그 횟수를 더하기만 하면 된다.
왜?
음수 두 개를 곱하면 양수이므로 은 둘씩 짝지어 사라진다.
🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).
왜?
가 짝수일 때만 이 남김없이 짝지어지고, 홀수이면 하나가 남는다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
2STEP 2
a 정하기
a는 짝수이고 1 ≤ a ≤ 3이므로 1과 3은 지워집니다.
a=2
범위 안의 짝수는 하나뿐입니다.
7.NS.A.2Eliminate Possibilities3STEP 3
각 거듭제곱 풀기
괄호 안의 각 인수를 거듭제곱합니다.
(-x³/y)²=x⁶/y², (y²/x^b)³=y⁶/x^(3b), (-x²/(2y))²=x⁴/(4y²)
(x³)²=x⁶, (y²)³=y⁶, (2y)²=4y²입니다.
8.EE.A.1Identify Subproblems4STEP 4
나눗셈을 곱셈으로
x⁴/(4y²)으로 나누는 것은 4y²/x⁴을 곱하는 것과 같습니다. 그다음 x와 y의 거듭제곱을 모읍니다.
x⁶/y²×y⁶/x^(3b)×4y²/x⁴=4y⁶/(x^(3b-2))
x는 6-3b-4=2-3b, y는 -2+6+2=6입니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra5STEP 5
지수 비교하기
4y^c/x와 비교하면 y의 지수와 x의 지수가 각각 같아야 합니다.
c=6, 3b-2=1 → b=1
같은 문자는 양변에서 지수가 같습니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra6STEP 6
더하기
세 값을 더합니다.
a+b+c=2+1+6=9
세 값 모두 조건대로 자연수입니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra정답
9
a=2, b=1을 넣어 보면 x⁶/y²×y⁶/x³×4y²/x⁴=4x⁶⁻³⁻⁴y⁻²⁺⁶⁺²=4y⁶/x이므로 c=6일 때 우변과 같습니다.
핵심 정리
지수를 쫓기 전에 부호부터 보세요. 모르는 수 하나가 한눈에 정해질 수 있어요.
- 부호부터 보기
- a 정하기
- 각 거듭제곱 풀기
- 나눗셈을 곱셈으로
- 지수 비교하기
- 더하기
다음은 어디로?
한 단계 위로추천
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