문제
길이가 같은 변을 이용하여 이등변삼각형을 찾는다
사각형 ㄱㄴㄷㄹ은 정사각형이고, 그 오른쪽 변 ㄹㄷ을 한 변으로 하는 정삼각형 ㄷㅁㄹ이 바깥쪽에 붙어 있습니다(ㅁ은 오른쪽을 향함). 선분 ㄴㅁ이 변 ㄹㄷ과 만나는 점을 ㅂ이라 할 때, 점 ㅂ에서 생기는 각 ㉠의 크기를 구하는 문제입니다.
측정·데이터도형
내 답
°인가요?
조심 삼각형에서 나오는 각 ㄴㅂㄷ = 75도는 각 ㉠과 같은 각이 아니라, 변 ㄹㄷ을 따라 이루는 직선(보각) 짝입니다 — 삼각형 안의 각에서 멈추면 안 됩니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 핵심은 정사각형의 변 ㄴㄷ과 정삼각형의 변 ㄷㅁ이 길이가 같아 삼각형 ㄴㄷㅁ이 이등변삼각형임을 알아채는 것입니다. 그 밑각을 구한 뒤, 점 ㄷ의 직각이 들어 있는 삼각형 ㄴㅂㄷ을 이용해 점 ㅂ의 각 ㉠에 이릅니다.
1STEP 1
점 ㄷ에서의 전체 각 ㄴㄷㅁ 구하기
점 ㄷ에서 정사각형 각(90도)+정삼각형 각(60도), 각 ㄴㄷㅁ=90+60=150도.
∠ ㄴㄷㅁ = 90° + 60° = 150°
한 점에서 만나는 각은 더해지므로, 정사각형 각에 삼각형 각을 더하면 점 ㄷ의 전체 각이 됩니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems2STEP 2
이등변삼각형 ㄴㄷㅁ으로 밑각 구하기
ㄴㄷ=ㄷㅁ이므로 삼각형 ㄴㄷㅁ은 이등변삼각형, 각 ㄷㄴㅁ=각 ㄷㅁㄴ=(180-150)÷2=15도.
∠ ㄷㄴㅁ = ∠ ㄷㅁㄴ = (180° - 150°)/2 = 15°
길이가 같은 변은 같은 밑각을 만들고, 세 각의 합은 여전히 180도입니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems삼각형 BCE의 두 밑각 CBE와 CEB는 각각 15도이다.
왜?
삼각형 BCE는 이등변삼각형이다: 변 BC와 CE의 길이가 같고, 같은 길이의 변 맞은편에는 같은 각이 놓이므로 두 밑각은 서로 같을 수밖에 없다.
왜?
BC는 정사각형의 변 DC와 같고, DC는 삼각형의 변 CE와 같으므로, 공유하는 변 DC를 통해 두 바깥 변 BC와 CE가 서로 같아진다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
왜?
삼각형의 두 변이 같으면 한가운데 선을 따라 삼각형을 접을 수 있는데, 한 변이 다른 변에 정확히 포개지면서 그 밑각도 다른 밑각 위에 그대로 옮겨진다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
꼭짓점 C의 각은 150도이고 삼각형 세 각의 합은 180도이므로, 남은 30도를 같은 두 밑각이 나눠 가져 각각 15도가 된다.
왜?
꼭짓점 C의 전체 각 BCE는 150도인데, 정사각형의 90도 각과 삼각형의 60도 각이 빈틈없이 바로 옆에 붙어 이루어진 것이다.
왜?
한 점에서 만나는 두 각이 빈틈도 겹침도 없으면 그 둘은 합만큼 큰 하나의 각으로 합쳐진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
삼각형 BCE 안의 세 각은 반드시 180도를 이루므로, 맨 위 각이 정해지면 나머지는 결정된다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
3STEP 3
삼각형 ㄴㅂㄷ에서 점 ㅂ의 각 ㉠ 구하기
삼각형 ㄴㅂㄷ: 각 ㅂㄷㄴ=90도, 각 ㅂㄴㄷ=15도, 각 ㄴㅂㄷ=75도; ㉠은 그 직선 짝이므로 ㉠=180-75=105도.
∠ ㄴㅂㄷ = 180° - 90° - 15° = 75°, ㉠ = 180° - 75° = 105°
삼각형 ㄴㅂㄷ의 두 각을 알면 나머지 각이 나오고, ㉠은 변 ㄹㄷ을 따라 그 각과 직선 짝을 이룹니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
105 °
∠ ㄴㅂㄷ = 180° - 90° - 15° = 75°, ㉠ = 180° - 75° = 105°
㉠ = 105도는 둔각으로, 가로지르는 선 ㄴㅁ이 변 ㄹㄷ과 위쪽에서 이루는 넓은 각에 잘 맞습니다. 그 짝인 각 ㄴㅂㄷ = 75도는 예각이고, 둘을 더하면 직선 변 ㄹㄷ을 따라 180도가 되어 결과가 어긋나지 않습니다.
핵심 정리
이미 배운 4학년 각 더하기와 정사각형의 변과 삼각형의 변이 같음을 알아채는 것만 있으면 풀 수 있어요!
- 점 ㄷ에서의 전체 각 ㄴㄷㅁ 구하기
- 이등변삼각형 ㄴㄷㅁ으로 밑각 구하기
- 삼각형 ㄴㅂㄷ에서 점 ㅂ의 각 ㉠ 구하기
다음은 어디로?
비슷해 보여도 달라요추천
한 단계 아래에서 다지기추천