심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
부호와 크기를 따져 빈칸에 수를 배치하면 식의 최댓값과 최솟값을 찾을 수 있다.
세 수 2/3, 4/5, -2를 (첫째) ÷ (둘째) - (셋째) 꼴에 넣습니다. 놓는 방법에 따라 값이 달라지는데, 그중 가장 큰 값과 가장 작은 값의 합을 구합니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 여섯 가지뿐이라 모두 나열할 수도 있지만, 부호를 따지면 어느 것이 답이 될지 알 수 있습니다. 결과를 크게 하려면 음수를 빼고, 작게 하려면 -2를 나눗셈에 넣어 몫을 음수로 만든 뒤 양수를 뺍니다. 나머지는 지우고 남은 것끼리 비교합니다.
1STEP 1
최댓값: 음수를 빼기
-2를 빼면 2를 더하는 것이고, 두 양수의 몫은 양수입니다. 큰 수를 작은 수로 나누어야 몫이 큽니다.
4/5 ÷ 2/3 - (-2) = 4/5 × 3/2 + 2 = 6/5 + 2 = 16/5
순서를 바꾼 2/3 ÷ 4/5 + 2 = 5/6 + 2 = 17/6은 17/6 ＜ 3 ＜ 16/5이므로 더 작습니다.
7.NS.A.2Eliminate Possibilities가장 큰 값은 를 마지막 칸에 넣어 빼고, 큰 양수를 작은 양수로 나눌 때 나온다.
왜?
를 빼는 것은 를 더하는 것과 같다.
왜?
에 를 더하면 이므로 를 더하는 것은 더해 둔 를 되돌린다. 를 빼는 것도 같은 일을 되돌리므로 두 동작은 같다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
를 몫 안에 넣는 배치는 모두 보다 작아지므로 가장 클 수 없다.
왜?
음수가 하나 들어간 몫은 음수이다. 나눗셈은 곱셈을 되돌리고, 양수 묶음을 음수 번 모으면 음수이기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
음수인 몫에서 양수를 빼면 보다 더 아래로 내려가고, 보다 작은 것은 모든 양수 결과보다 작다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
두 양수 몫 가운데 는 보다 크고 는 보다 작으므로, 를 더하면 하나는 보다 크고 다른 하나는 보다 작다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
2STEP 2
최솟값: 몫을 음수로 만들고 양수를 빼기
-2를 나눗셈에 넣습니다. 절댓값이 큰 음수 몫은 -2를 앞에 둘 때 나옵니다.
(-2) ÷ 2/3 - 4/5 = -3 - 4/5 = -19/5, (-2) ÷ 4/5 - 2/3 = -5/2 - 2/3 = -19/6
19/5 ＞ 19/6이므로 -19/5가 더 작습니다.
7.NS.A.2Make A Systematic List3STEP 3
남은 경우 확인하기
-2가 둘째 칸에 들어가면 몫의 절댓값이 작습니다.
2/3 ÷ (-2) - 4/5 = -17/15, 4/5 ÷ (-2) - 2/3 = -16/15
둘 다 -2와 -1 사이에 있으므로 -19/5나 16/5을 넘지 못합니다.
7.NS.A.2Make A Systematic List4STEP 4
최댓값과 최솟값 더하기
최댓값은 16/5, 최솟값은 -19/5입니다.
16/5 + (-19/5) = -3/5
합은 -3/5입니다.
7.NS.A.1Make A Systematic List정답
-3/5
여섯 값은 16/5, 17/6, -19/5, -19/6, -17/15, -16/15입니다. 가장 큰 값은 16/5 = 3.2, 가장 작은 값은 -19/5 = -3.8이고 3.2 + (-3.8) = -0.6 = -3/5입니다.
핵심 정리
부호를 먼저 정하면 계산해 볼 배치는 몇 개 남지 않습니다.
- 최댓값: 음수를 빼기
- 최솟값: 몫을 음수로 만들고 양수를 빼기
- 남은 경우 확인하기
- 최댓값과 최솟값 더하기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Branching State Enumeration, Casework by Position / Vertex Type. 왜 같은 골격이 반복되는지 →