심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
두 농도를 문자로 두고 주고받은 뒤의 농도를 식으로 나타내면 농도 차가 일정한 비율로 줄어든다.
500 g씩 든 두 소금물이 100 g을 한쪽으로 옮기고 다시 100 g을 되돌려 옮깁니다. 나중 농도 차를 처음 농도 차와 비교합니다.
비와 비율식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 처음 농도를 x%, y%로 둡니다. 섞을 때 더해지는 것은 농도가 아니라 소금의 양이므로 소금의 양을 따라갑니다. 나중 농도를 x, y로 나타내 빼고, 그 결과를 x-y와 비교합니다.
1STEP 1
A를 B에 붓기
A에는 x% 소금물 400 g이 남습니다. B는 600 g이 되고 소금은 원래 있던 5y g과 A에서 온 x g입니다.
B = (5y + x)/600 × 100 = (x + 5y)/6 (%)
500 g의 y%는 5y g, 100 g의 x%는 x g입니다.
7.RP.A.3Analyze The Units2STEP 2
B를 A에 되붓기
B에서 100 g을 떠내도 농도는 그대로입니다. 떠낸 100 g에는 소금 (x+5y)/6 g, A의 400 g에는 소금 4x g이 있습니다.
A = (4x + (x+5y)/6)/500 × 100 = (24x + x + 5y)/30 = (5x + y)/6 (%)
한 분모로 묶으면 A는 대부분 원래의 A에 B가 조금 섞인 꼴임이 보입니다.
7.EE.A.2Convert To Algebra되붓고 나면 A의 농도는 이고 B는 그대로이다.
왜?
B는 잘 섞여서 어느 부분이나 똑같이 짜므로 일부를 덜어내도 남은 것의 농도는 그대로이다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
왜?
A의 소금은 남아 있던 그램에 들어온 그램을 더한 것이고, 이제 에 퍼져 있다.
왜?
의 는 마다 그램씩 네 번이므로 그램이다.
🧱퍼센트는 백에 대한 개수어떤 것의 70퍼센트라는 말은 그것 백 개마다 70개라는 말이므로, 퍼센트는 분모가 100인 분수일 뿐이다.
왜?
원래 있던 소금과 부어 넣은 소금은 겹치지 않으므로 둘을 합하면 A의 소금 전체이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
분자와 분모에 똑같이 을 곱하면 값은 그대로이면서 작은 분수가 없어져 이 된다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
3STEP 3
빼기
나중 농도 차는 A에서 B를 뺀 것입니다.
(5x + y)/6 - (x + 5y)/6 = (4x - 4y)/6 = (2/3)(x - y)
미지수가 x-y 꼴로만 남는데, 이것이 바로 처음 농도 차입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
비로 나타내기
농도가 서로 다르므로 x-y ≠ 0이고, 처음 농도 차로 나눌 수 있습니다.
(2/3)(x-y) : (x-y) = 2 : 3
이만큼 주고받으면 농도 차는 언제나 2/3로 줄어듭니다.
7.RP.A.3Convert To Algebra정답
2:3
A를 12%, B를 6%로 해 보면 B는 (30+12)/600 = 7%, A는 (48+7)/500 = 11%가 됩니다. 농도 차가 6에서 4로 바뀌고 4:6 = 2:3입니다.
핵심 정리
농도가 아니라 소금의 양을 따라가면 모르는 농도가 저절로 지워집니다.
- A를 B에 붓기
- B를 A에 되붓기
- 빼기
- 비로 나타내기
다음은 어디로?
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition. 왜 같은 골격이 반복되는지 →