문제
조각을 하나씩 늘려가며 만들 수 있는 모양의 개수를 구한다.
네 변의 길이가 같은 평행사변형(마름모) 모양 조각이 3개 있습니다. 이를 변끼리(한 변 전체를 다른 변 전체에) 맞닿게 이어 붙여 하나의 연결된 모양을 만들고, 만들 수 있는 서로 다른 모양이 모두 몇 가지인지 셉니다. 단, 돌리거나 뒤집어서 같아지는 두 모양은 한 가지로 봅니다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 이것은 '모양이 몇 가지인가'를 묻는 문제이고 경우의 수가 아주 적은 유한한 문제이므로, 두 조각 모양에 세 번째 조각을 붙이는 모든 방법을 나열한 뒤 돌리거나 뒤집어서 같아지는 중복을 지우는 것이 안전한 방법입니다.
1STEP 1
두 조각으로 이미 두 가지 모양이 나온다
마름모 2개는 한 가지가 아니라 곧은 모양과 꺾인 모양 두 가지를 만듭니다.
조각 2개 → 2가지
마름모에는 서로 다른 두 종류의 각이 있어서, 두 번째 조각이 선을 곧게 이어 갈 수도 있고 꺾을 수도 있습니다. 두 모양을 각각 따로 키워야 합니다.
4.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
곧은 모양을 키우기
곧은 짝의 열린 변마다 세 번째 조각을 붙이고 돌리기·뒤집기로 같아지는 것을 지웁니다. 6가지가 남습니다.
곧은 짝 → 6가지
곧은 모양이 더 길어 새로운 모양으로 이어지는 열린 변이 더 많습니다. 셋이 일직선인 모양과, 세 번째 조각이 이쪽저쪽으로 꺾인 5가지입니다.
4.G.A.2Make A Systematic List곧은 짝을 키우면 6가지, 꺾인 짝을 키우면 3가지가 나오고, 두 목록에 함께 오르는 모양이 없으므로 모두 9가지입니다.
왜?
세 조각짜리 모양은 반드시 두 조각짜리 모양을 품고 있고 그런 모양은 둘뿐이므로, 각각을 차례로 키우면 모든 모양에 꼭 한 번씩 닿습니다.
왜?
두 마름모는 빈틈도 겹침도 없이 만나 하나의 뚜렷한 전체를 이루므로, 그 둘레에는 시도해 볼 열린 변이 고정된 개수만큼 셀 수 있게 들어 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
이미 목록에 있는 것을 돌리거나 뒤집은 배치는 새로운 모양이 아니므로 버린다.
왜?
배치를 돌리거나 뒤집으면 다른 것 위에 정확히 포개져 모든 변의 길이와 꼭짓점의 각이 그대로 같으므로, 두 윤곽은 완전히 같은 모양이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
끝까지 남은 세 배치는 정말로 서로 다른데, 어느 것도 다른 것 위로 돌리거나 뒤집어 포갤 수 없기 때문이다.
왜?
어떤 돌리기나 뒤집기로도 한 윤곽을 다른 윤곽 위에 정확히 놓을 수 없으면 어떤 변이나 각이 맞지 않는 것이므로, 그 모양들은 진짜로 같지 않다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
3STEP 3
꺾인 모양을 키운 뒤 두 수를 더하기
꺾인 짝에서는 3가지만 나옵니다. 육각형, 천막, 지그재그입니다. 겹치는 것이 없으니 더합니다.
6 + 3 = 9
이 셋은 곧은 짝에서는 만들 수 없습니다. 두 목록은 서로 다른 모양에서 시작하고, 키워 가도 서로 만나지 않습니다.
4.G.A.2Count The Complement정답
9가지
처음 두 조각이 어떤 모양인지로 경우를 나누었고, 세 조각짜리 모양은 반드시 두 조각짜리 모양을 품고 있으므로 빠뜨린 것이 없습니다. 곧은 모양에서 6가지, 꺾인 모양에서 3가지이며 두 목록에 함께 오르는 모양은 없습니다.
핵심 정리
두 조각이 이미 서로 다른 두 모양을 만들어요. 각각을 따로 키운 다음 가짓수를 더하면 돼요!
- 두 조각으로 이미 두 가지 모양이 나온다
- 곧은 모양을 키우기
- 꺾인 모양을 키운 뒤 두 수를 더하기
다음은 어디로?
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