심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
사다리꼴에서 두 직각삼각형을 빼 문자로 된 넓이를 구한다.
점 , 에 대하여 삼각형 의 넓이가 일 때, 두 상수 , 의 곱 의 값을 구하시오. (단, 는 원점이다.)
도형식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 삼각형 OPQ의 변이 격자선을 따라가지 않으므로, 넓이를 쉽게 구할 수 있는 조각으로 나눕니다. P, Q에서 x축에 수선을 내리면 사다리꼴이 생기고, 이 사다리꼴은 삼각형 OPQ와 꼭짓점 O를 함께 쓰는 직각삼각형 두 개로 이루어집니다. 빼고 나서 식을 풉니다.
1STEP 1
수선 내리기
P, Q에서 x축에 내린 수선의 발을 H, H'이라 하면, a ＞ 0이므로 O는 선분 H'H 위에 있습니다.
H(a, 0), H'(-2a, 0)
x축에 내린 수선의 발은 x좌표는 그대로, y좌표는 0입니다.
7.G.B.6Draw A Diagram2STEP 2
사다리꼴 PQH'H의 넓이
평행한 두 변은 세로 선분 PH = b, QH' = 3b이고, 높이는 H'H = a-(-2a) = 3a입니다.
1/2 × (b + 3b) × 3a = 6ab
사다리꼴의 넓이는 (윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems3STEP 3
두 직각삼각형의 넓이
삼각형 OQH'은 OH' = 2a, QH' = 3b이고, 삼각형 OPH는 OH = a, PH = b입니다.
△ OQH' = 1/2 × 2a × 3b = 3ab, △ OPH = 1/2 × a × b = ab/2
격자선을 따라 두 변이 놓인 직각삼각형은 직사각형의 절반입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems4STEP 4
빼서 삼각형 OPQ 구하기
O가 아랫변 위에 있으므로 사다리꼴은 삼각형 OPQ와 두 직각삼각형을 합친 것입니다.
6ab - (3ab + ab/2) = (5/2)ab
동류항끼리 계산하면 6 - 3 - 1/2 = 5/2입니다.
6.EE.A.3Convert To Algebra삼각형 의 넓이는 이다.
왜?
은 의 왼쪽 에, 는 오른쪽 에 있으므로 삼각형 , , 가 빈틈도 겹침도 없이 사다리꼴 를 채우고, 세 넓이의 합이 사다리꼴의 넓이이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
사다리꼴의 넓이는 이고 두 직각삼각형의 넓이는 와 이다.
왜?
대각선 는 사다리꼴을 높이가 이고 밑변이 와 인 두 삼각형으로 나누므로, 넓이는 이다.
🧱삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반삼각형 두 개를 맞추면 같은 밑변의 평행사변형이 되므로, 삼각형 하나는 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.
왜?
각 직각삼각형은 두 변이 축을 따라가므로 넓이는 두 변의 곱의 절반이다.
🧱삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반삼각형 두 개를 맞추면 같은 밑변의 평행사변형이 되므로, 삼각형 하나는 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.
왜?
는 의 묶음을 세는 것이므로 이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
5STEP 5
넓이 조건 쓰기
이 식이 15와 같다고 놓고 ab를 구합니다.
(5/2)ab = 15 → ab = 6
양변에 2/5를 곱합니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra정답
6
a=2, b=3(ab=6)으로 확인하면 P(2, 3), Q(-4, 9)입니다. 사다리꼴은 1/2 × (3+9) × 6 = 36이고, 여기서 1/2 × 4 × 9 = 18과 1/2 × 2 × 3 = 3을 빼면 15가 남습니다.
핵심 정리
좌표가 문자여도 잘라서 빼는 방법은 그대로 통해요. 답이 곱 하나로 나와도 괜찮아요.
- 수선 내리기
- 사다리꼴 PQH'H의 넓이
- 두 직각삼각형의 넓이
- 빼서 삼각형 OPQ 구하기
- 넓이 조건 쓰기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
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