문제
두 가지 대응 관계는 따로 생각한다.
바둑돌을 점점 커지는 정사각형 모양으로 놓는다. n째 그림은 (n+2)×(n+2) 정사각형으로, 바깥 둘레는 검은색 바둑돌이고 안쪽 n×n 부분은 흰색 바둑돌이다. 30째 그림에서 흰색 바둑돌 수와 검은색 바둑돌 수의 차를 구해야 한다.
연산
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 한 그림 속에 서로 다른 두 대응 관계가 숨어 있다. 흰색이 늘어나는 규칙과 검은색이 늘어나는 규칙이다. 작은 그림들을 보며 각각의 규칙을 따로 찾은 뒤, 두 규칙으로 30째의 흰색 수와 검은색 수를 각각 구해 빼면 된다.
1STEP 1
흰색 바둑돌의 규칙 찾기
흰 돌은 n번째 그림에서 n × n 덩어리를 이룬다.
white(n) = n × n
작은 그림을 차례로 보면 흰색의 한 변 길이가 순서 번호와 같다는 패턴을 5학년도 쉽게 찾을 수 있다.
5.OA.B.3Look For A Pattern2STEP 2
검은색 바둑돌의 규칙 찾기
검은 테두리는 (n+2) × (n+2)에서 그 흰 덩어리를 뺀 것이라 4n + 4가 된다.
black(n) = (n+2)×(n+2) - n × n = 4n + 4
둘레를 '전체 정사각형에서 안쪽 빼기'로 보면 쉬운 처음 그림들에서 모든 돌을 세지 않고도 깔끔한 규칙이 나온다.
5.OA.A.2Solve An Easier Related Problemn번째 그림의 검은 테두리에는 돌이 4 x n + 4 개 있다.
왜?
테두리는 전체 정사각형에서 안쪽 흰 정사각형을 덜어낸 나머지 그대로이고, 빠뜨린 돌도 두 번 센 돌도 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그 나머지는 그림에서 바로 셀 수도 있다. 돌 n개짜리 변 네 개에 모퉁이 돌 네 개를 더한 것이다.
왜?
각 변은 두 모퉁이 사이에 돌 n개가 놓이고 모퉁이는 어느 변에도 속하지 않으므로, 돌 하나하나가 셈에서 정확히 한 자리씩만 차지한다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
두 규칙으로 30째 구하기
각 규칙에 n=30을 넣는다. 흰색은 30×30=900개이고, 검은색은 4×30+4=124개이다.
white(30) = 900, black(30) = 4 × 30 + 4 = 124
각 대응 관계는 저마다의 작은 기계와 같아서, 30을 넣으면 각각의 개수가 나온다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
빼서 차 구하기
흰색이 검은색보다 많으므로 차는 흰색에서 검은색을 뺀 값이다. 900−124=776이다.
900 - 124 = 776
큰 흰색 안쪽 묶음이 가느다란 검은 테두리를 압도하는 모습을 떠올리면 차가 크고 양수임을 알 수 있다.
5.OA.A.2Draw A Diagram정답
776
확인: 흰색+검은색은 전체 32×32 정사각형이어야 한다. 900+124=1024=32×32이므로 두 개수가 서로 맞아떨어진다. 둘레는 큰 흰색 묶음을 둘러싼 가는 테두리일 뿐이므로 흰색이 검은색보다 훨씬 많고, 차가 776개인 것은 타당하다.
핵심 정리
한 그림에서 두 가지가 변할 때는 각각의 규칙을 따로 만들고, 두 규칙을 함께 쓴다.
- 흰색 바둑돌의 규칙 찾기
- 검은색 바둑돌의 규칙 찾기
- 두 규칙으로 30째 구하기
- 빼서 차 구하기
다음은 어디로?
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