심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

두 가지 대응 관계는 따로 생각한다.

다음과 같은 규칙으로 바둑돌을 놓을 때 $30$ 째에 놓을 흰색 바둑돌 수와 검은색 바둑돌 수의 차는 몇 개일까요?

그림은 정사각형 모양으로 배열한 바둑돌이 순서대로 커지는 모습이다. 첫째는 $3\times3$ 배열로, 바깥 둘레의 $8$ 개는 검은색 바둑돌이고 가운데 $1$ 개는 흰색 바둑돌이다. 둘째는 $4\times4$ 배열로, 바깥 둘레는 검은색 바둑돌이고 안쪽 $2\times2$ 는 흰색 바둑돌이다. 셋째는 $5\times5$ 배열로, 바깥 둘레는 검은색 바둑돌이고 안쪽 $3\times3$ 는 흰색 바둑돌이다. 이와 같이 순서가 늘어날수록 한 변의 바둑돌 수가 하나씩 늘어난다.

연산

내 답

풀이 과정

전략 패턴 찾기 — 한 그림 속에 서로 다른 두 대응 관계가 숨어 있다. 흰색이 늘어나는 규칙과 검은색이 늘어나는 규칙이다. 작은 그림들을 보며 각각의 규칙을 따로 찾은 뒤, 두 규칙으로 30째의 흰색 수와 검은색 수를 각각 구해 빼면 된다.

1STEP 1

흰색 바둑돌의 규칙 찾기

흰 돌은 n번째 그림에서 n × n 덩어리를 이룬다.

white(n) = n × n

2STEP 2

검은색 바둑돌의 규칙 찾기

검은 테두리는 (n+2) × (n+2)에서 그 흰 덩어리를 뺀 것이라 4n + 4가 된다.

black(n) = (n+2)×(n+2) - n × n = 4n + 4

3STEP 3

두 규칙으로 30째 구하기

각 규칙에 n=30을 넣는다. 흰색은 30×30=900개이고, 검은색은 4×30+4=124개이다.

white(30) = 900, black(30) = 4 × 30 + 4 = 124

4STEP 4

빼서 차 구하기

흰색이 검은색보다 많으므로 차는 흰색에서 검은색을 뺀 값이다. 900−124=776이다.

900 - 124 = 776

정답

776

확인: 흰색+검은색은 전체 32×32 정사각형이어야 한다. 900+124=1024=32×32이므로 두 개수가 서로 맞아떨어진다. 둘레는 큰 흰색 묶음을 둘러싼 가는 테두리일 뿐이므로 흰색이 검은색보다 훨씬 많고, 차가 776개인 것은 타당하다.

핵심 정리

한 그림에서 두 가지가 변할 때는 각각의 규칙을 따로 만들고, 두 규칙을 함께 쓴다.

흰색 바둑돌의 규칙 찾기
검은색 바둑돌의 규칙 찾기
두 규칙으로 30째 구하기
빼서 차 구하기

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