문제
이웃하는 분수의 분자, 분모의 관계를 이용하여 규칙을 찾는다.
분수를 규칙에 따라 늘어놓습니다. 먼저 분모가 2인 분수, 다음에 분모가 3인 분수, 그다음 4, 이렇게 늘어놓고, 각 묶음 안에서 분자는 1부터 분모보다 1 작은 수까지 올라갑니다. 41번째에 놓일 분수를 구해야 합니다.
연산분수
내 답
조심 이 목록은 분수를 그대로 늘어놓아요 — 이 아니라 로 써요 — 그러니 마지막 분수를 약분하면 안 돼요.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 분수가 분모별로 묶여 있고, 분모가 (k+1)인 묶음은 k개를 차지합니다. 이 묶음 크기를 차례로 더해 가면(1+2+3+…) 41번째가 어느 묶음에 들어가는지 알 수 있고, 그 묶음 안에서 세어 봅니다.
1STEP 1
묶음 크기 살펴보기
분모 d인 묶음은 d-1개씩이므로 누적 합은 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45입니다.
1, 1+2=3, +3=6, +4=10, +5=15, +6=21, +7=28, +8=36, +9=45
분모가 하나 커질 때마다 앞 묶음보다 분수가 한 개씩 더 늘어나는 분명한 패턴입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern2STEP 2
41번째가 들어갈 묶음 찾기
분모 9는 36번째에서 끝나고, 분모 10 묶음은 37~45번째입니다. 그래서 41번째는 분모 10인 묶음에 있습니다.
누적 합을 이용하면 멀리 떨어진 41번째 항을 '어느 짧은 묶음에 있는가'로 줄일 수 있습니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem목록에서 41번째 분수는 분모가 10인 묶음에 속한다.
왜?
분모가 2부터 9까지인 묶음들이 앞의 36자리를 정확히 채우고, 그다음 묶음인 분모 10이 37번째부터 45번째 자리를 채우므로 41번째 자리는 그 안에 들어간다.
왜?
각 묶음은 분모보다 하나 적은 수의 분수를 담으므로 분모 2부터 9까지는 크기가 1, 2, 3, ... 8인 묶음이 되고, 이들을 더하면 36이 된다.
왜?
묶음 안에서 분자는 1, 2, 3, ... 분모보다 하나 작은 수까지 이어지고 각 분자마다 분수가 정확히 하나씩 있으므로, 분자를 세면 분수의 개수가 세어진다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
묶음들은 빈틈도 겹침도 없이 하나씩 이어 놓이므로, 묶음 크기를 모두 더하면 사용된 전체 자리 수가 나오고 이것이 각 묶음이 끝나는 위치를 알려 준다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
묶음 안에서 자리 찾기
41번째는 분모 10 묶음의 (41-36)=5번째 분수이므로 분자는 5입니다.
묶음 안에서 분자는 그 자리 번호와 같으므로, 5번째 항의 분자는 5입니다.
3.NF.A.1Look For A Pattern정답
41 - 36 = 5 →
37번째부터 45번째까지는 부터 까지입니다. 41번째는 그중 5번째이므로 입니다. 이는 분자가 올라가고 분모가 10으로 고정되는 패턴과 맞습니다. 분자 5는 그 묶음에서 필요한 대로 1과 9 사이에 있습니다.
핵심 정리
3학년 패턴 감각만 있으면 충분해요. 묶음 크기를 41에 닿을 때까지 더한 다음, 그 묶음 안에서 세면 돼요!
- 묶음 크기 살펴보기
- 41번째가 들어갈 묶음 찾기
- 묶음 안에서 자리 찾기
다음은 어디로?
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