심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

곡이 n개면 쉬는 시간은 n-1번이고, 개수를 맞바꾼 두 식은 더하고 빼서 푼다.

어떤 음악회에서 $6$ 분짜리 곡과 $8$ 분짜리 곡을 섞어서 연주하여 공연 시간을 모두 $1$ 시간 $45$ 분으로 계획했으나 오케스트라 측의 요청에 의하여 $6$ 분짜리 곡과 $8$ 분짜리 곡의 개수를 서로 바꾸어서 연주하였더니 모두 $1$ 시간 $57$ 분이 걸렸다. 곡과 곡 사이에는 $1$ 분간 쉬는 시간이 있다고 할 때, 처음에 연주하려고 계획했던 $6$ 분짜리 곡은 모두 몇 곡인지 구하시오.

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기 — 곡을 한 줄로 늘어놓고 사이사이에 쉬는 시간을 그려 보면 쉬는 횟수를 바르게 셀 수 있습니다. 시간을 분으로 고쳐 두 공연에 대한 식을 각각 세우면 두 식이 서로 거울처럼 대칭이므로 더하고 빼는 것이 가장 빠릅니다.

1STEP 1

쉬는 횟수 세기

6분짜리 x곡, 8분짜리 y곡이면 쉬는 횟수는 x + y - 1번이고, 개수를 바꿔도 그대로입니다.

(쉬는 횟수) = x + y - 1

2STEP 2

두 공연을 분 단위 식으로

1시간 45분은 105분, 1시간 57분은 117분입니다. 바꾼 공연에서는 6분짜리가 y곡, 8분짜리가 x곡입니다.

6x + 8y + (x + y - 1) = 105, 7x + 9y = 106; 6y + 8x + (x + y - 1) = 117, 9x + 7y = 118

3STEP 3

대칭인 두 식 더하기

두 식을 더하면 두 문자의 계수가 같아집니다.

16x + 16y = 224, x + y = 14

4STEP 4

대칭인 두 식 빼기

둘째 식에서 첫째 식을 빼면 차가 남습니다.

2x - 2y = 12, x - y = 6

5STEP 5

개수 구하기

합과 차를 알면 각 개수가 나옵니다.

x = (14 + 6)/2 = 10, y = (14 - 6)/2 = 4

정답

10곡

계획: 6 × 10 + 8 × 4 + 13 = 60 + 32 + 13 = 105분. 바꾼 공연: 6 × 4 + 8 × 10 + 13 = 24 + 80 + 13 = 117분. 둘 다 맞습니다.

핵심 정리

사이의 개수를 정확히 세고 나면, 대칭인 두 식은 더해서 합을, 빼서 차를 얻으면 됩니다.

쉬는 횟수 세기
두 공연을 분 단위 식으로
대칭인 두 식 더하기
대칭인 두 식 빼기
개수 구하기

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