문제
평행사변형의 한 대각선은 다른 대각선을 반으로 나눈다.
평행사변형 ㄱㄴㄷㄹ에서 두 대각선 ㄱㄷ과 ㄴㄹ이 점 ㅁ에서 만납니다. 변 ㄱㄹ = 7 cm, 변 ㄱㄴ = 5 cm, 대각선 ㄴㄹ의 전체 길이 = 6 cm, 절반 대각선 ㄱㅁ = 5.4 cm입니다. 삼각형 ㄴㄷㅁ의 둘레(세 변 ㄴㄷ, ㄷㅁ, ㅁㄴ의 합)를 구해야 합니다.
도형
내 답
cm인가요?
조심 ㄴㄷ을 ㄱㄴ = 5 cm로 놓기 쉽지만, ㄴㄷ은 ㄱㄹ과 마주 보므로 ㄴㄷ = ㄱㄹ = 7 cm이어야 해요.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 삼각형 ㄴㄷㅁ의 세 변을 평행사변형의 두 가지 성질로 하나씩 구합니다. 대각선이 서로를 이등분한다는 사실로 ㅁㄴ과 ㄷㅁ을 구하고, 마주 보는 변이 같다는 사실로 ㄴㄷ을 구한 뒤 모두 더합니다.
1STEP 1
이등분된 대각선 ㄴㄹ에서 ㅁㄴ 구하기
평행사변형의 대각선은 서로를 절반으로 나누므로 점 ㅁ은 대각선 ㄴㄹ의 중점입니다. 따라서 ㅁㄴ = ㄴㄹ / 2 = = 3 cm입니다.
6 ÷ 2 = 3 cm
평행사변형의 대각선은 서로를 똑같이 나누므로, 6 cm 대각선의 절반은 3 cm입니다.
4.G.A.2Identify Subproblems교점 M은 대각선 BD를 똑같은 두 조각으로 나누므로, MB는 전체 6 cm 대각선의 정확히 절반이다.
왜?
BD는 두 조각 MB와 MD로 이루어져 있으므로, 그 두 조각이 같다는 것만 알면 각각이 BD의 절반일 수밖에 없다.
왜?
조각 MB에 이어 조각 MD가 전체 대각선 BD를 이루며, 빠진 부분도 겹쳐 센 부분도 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
두 조각 MB와 MD의 길이가 같은 것은, M이 평행사변형의 두 대각선이 만나는 점이고 그 점이 각 대각선의 정확히 한가운데에 놓이기 때문이다.
왜?
평행사변형 전체를 M을 중심으로 반 바퀴 돌리면 도형이 자기 자신 위에 딱 포개지고 꼭짓점 B가 원래 D가 있던 자리에 오므로, M에서 B까지의 거리가 M에서 D까지의 거리와 같아진다.
왜?
M을 중심으로 한 반 바퀴 회전은 도형의 한쪽 절반을 다른 쪽 절반 위에 그대로 포개고, 이렇게 도형을 자기 위로 옮겨도 모든 길이가 변하지 않으므로 MB와 MD는 같아진다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
2STEP 2
이등분된 대각선 ㄱㄷ에서 ㄷㅁ 구하기
점 ㅁ은 대각선 ㄱㄷ의 중점이기도 하므로, ㄷㅁ은 나머지 절반인 ㄱㅁ과 같습니다. 따라서 ㄷㅁ = ㄱㅁ = 5.4 cm입니다.
ㄷㅁ = ㄱㅁ = 5.4 cm
ㅁ이 ㄱㄷ을 절반으로 나누므로, ㅁ에서 ㄷ까지의 조각은 ㄱ에서 ㅁ까지의 조각과 같은 5.4 cm입니다.
4.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
마주 보는 변에서 ㄴㄷ 구하기
평행사변형에서 마주 보는 변끼리는 길이가 같고, ㄴㄷ은 ㄱㄴ이 아니라 ㄱㄹ과 마주 보므로 ㄴㄷ = ㄱㄹ = 7 cm입니다.
ㄴㄷ = ㄱㄹ = 7 cm
평행사변형의 마주 보는 변은 서로 같으므로, ㄴㄷ은 ㄱㄹ의 7 cm를 그대로 따라갑니다.
4.G.A.2Draw A Diagram4STEP 4
세 변 더하기
삼각형 ㄴㄷㅁ의 둘레 = ㅁㄴ + ㄷㅁ + ㄴㄷ = 3 + 5.4 + 7 = 15.4 cm입니다.
3 + 5.4 + 7 = 15.4 cm
세 변의 길이를 더하면 삼각형을 빙 둘러 가는 거리가 됩니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems정답
15.4 cm
3 + 5.4 + 7 = 15.4 cm
세 변 3 cm, 5.4 cm, 7 cm는 각각 나머지 두 변의 합보다 짧아 삼각형 규칙(3 + 5.4 = 8.4 보다 큰 7)을 지키므로 실제로 삼각형이 만들어집니다. 합 15.4 cm도 센티미터 단위로 알맞은 둘레입니다.
핵심 정리
평행사변형의 대각선은 서로를 정확히 절반으로 잘라요. 그래서 절반 길이들과 마주 보는 변 하나만 더하면 4학년 덧셈으로 둘레가 나와요!
- 이등분된 대각선 ㄴㄹ에서 ㅁㄴ 구하기
- 이등분된 대각선 ㄱㄷ에서 ㄷㅁ 구하기
- 마주 보는 변에서 ㄴㄷ 구하기
- 세 변 더하기
다음은 어디로?
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