심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

단항식은 차수가 같은 항하고만 같을 수 있다.

$x$ 에 대한 두 단항식 $A$ , $B$ 에 대하여 $\frac{A-8x^4}{2x^3}=2x^4+B$ 일 때, $\frac{A}{B}$ 를 간단히 하시오. (단, $A$ 의 차수가 $B$ 의 차수보다 크다.)

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기 — 분모를 없애고 모르는 것을 한쪽으로 모읍니다. 항이 하나인 미지의 식 두 개가 반대쪽 두 항과 짝을 이루어야 하므로, 가능한 짝짓기 두 가지를 적고 차수 조건에 맞는 것을 고릅니다.

1STEP 1

양변에 2x³을 곱합니다.

A-8x⁴=(2x⁴+B) × 2x³=4x⁷+2x³B

2STEP 2

2x³B는 왼쪽으로, 8x⁴은 오른쪽으로 옮깁니다.

A-2x³B=4x⁷+8x⁴

3STEP 3

왼쪽은 단항식 두 개이고 오른쪽은 차수가 다른 두 항이므로 단항식 하나가 항 하나를 통째로 맡습니다. 짝짓는 방법은 두 가지뿐입니다.

(i) A=4x⁷, -2x³B=8x⁴ (ii) A=8x⁴, -2x³B=4x⁷

4STEP 4

첫째 경우 B=8x⁴/-2x³=-4x로 차수 1이고, 둘째 경우 B=4x⁷/-2x³=-2x⁴는 A와 차수가 같아 안 됩니다.

A=4x⁷, B=-4x

5STEP 5

계수끼리 나누고 지수는 뺍니다.

A/B=4x⁷/(-4x)=-x⁶

정답

-x⁶

A=4x⁷을 다시 넣으면 (4x⁷-8x⁴)/(2x³)=2x⁴-4x이므로 B=-4x일 때 2x⁴+B와 같습니다.

핵심 정리

단항식은 항이 하나라서 차수가 같은 항하고만 짝이 될 수 있습니다.

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