문제
도형의 둘레는 그 도형 모양의 변으로 알 수 있다.
직각을 이루는 두 변의 길이가 각각 3 cm인 직각삼각형이 있습니다. 이 삼각형을 여러 개 옆으로 이어 붙여 둘레가 30 cm인 직사각형을 만들려고 합니다. 이때 직각삼각형이 몇 개 필요한지 구하는 문제입니다.
측정·데이터연산
내 답
개인가요?
조심 직사각형을 만드는 데 정사각형이 4개 필요하지만, 그것이 정답이 아니다. 정사각형 하나는 삼각형 두 개로 이루어지므로 삼각형 개수는 두 배 해야 한다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 삼각형을 직접 그려 보면 두 개가 모여 한 변 3 cm인 정사각형이 된다는 것이 한눈에 보이고, 모양 문제가 깔끔한 타일 붙이기 문제로 바뀝니다. 그런 다음 과제를 작은 문제로 쪼개어(정사각형 만들기, 정사각형을 한 줄로 늘어놓기, 둘레 맞추기) 어떤 길이일 때 둘레가 30 cm가 되는지 확인합니다.
1STEP 1
삼각형 두 개를 모아 정사각형 만들기
삼각형 두 개를 빗변끼리 맞붙이면 3 cm짜리 정사각형이 됩니다.
2 개의 삼각형 = 1 개의 정사각형 (3 cm × 3 cm)
3학년 도형 감각: 똑같은 직각삼각형 두 개를 긴 변끼리 맞대면 정사각형이 됩니다.
3.G.A.1Draw A Diagram이 직각삼각형 두 개를 빗변끼리 붙이면 한 변이 3 cm인 정사각형으로 딱 맞춰진다.
왜?
두 삼각형은 빗변끼리 빈틈도 겹침도 없이 맞닿아서, 함께 하나의 네 변짜리 도형을 덮는다.
왜?
두 번째 삼각형은 첫 번째의 똑같은 복사본이라 빗변 길이가 같아서 첫 번째 빗변 위에 정확히 포개진다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
빈틈도 겹침도 없이 맞붙인 두 조각은 하나의 온전한 도형으로 합쳐진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
붙인 도형의 바깥 네 변은 삼각형들의 네 직각변이고, 직각변은 모두 3 cm라서 네 변이 모두 같다.
왜?
두 번째 삼각형은 첫 번째의 똑같은 복사본이라 직각변도 첫 번째처럼 3 cm이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
붙인 도형의 모든 꼭짓점이 직각이라서, 네 변이 같고 네 각이 직각인 이 도형은 정사각형이다.
왜?
두 꼭짓점은 삼각형 자신의 직각이고, 나머지 두 꼭짓점은 각각 같은 두 예각이 모여 직각을 채운 것이다.
왜?
어떤 삼각형이든 세 각의 합은 180도라서, 90도 각과 함께 있는 두 예각의 합은 90도이다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
왜?
두 직각변의 길이가 같아서 삼각형을 가운데로 접으면 한 예각이 다른 예각에 정확히 포개져, 두 예각이 각각 45도로 같아진다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
2STEP 2
정사각형을 한 줄로 늘어놓기
정사각형 n개를 한 줄로 이으면 세로 3 cm, 가로는 3 × n cm가 됩니다.
가로 = 3 × n, 세로 = 3
3학년 곱셈: 똑같은 3 cm 정사각형을 끝까지 이어 붙이면 가로 길이가 정사각형 개수만큼 곱해집니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems3STEP 3
둘레를 30 cm에 맞추기
둘레 2(3n + 3) = 30을 풀면 3n + 3 = 15, 그래서 n = 4, 가로 12 cm 세로 3 cm 직사각형이 됩니다.
2 (3n + 3) = 30 → 3n + 3 = 15 → n = 4
3학년 둘레 감각: 둘레를 따라 한 바퀴 돈 길이가 30 cm가 될 때까지 가로 길이를 바꿔 가며 확인합니다. 정사각형 4개면 가로 12 cm, 세로 3 cm 직사각형(둘레 30 cm)이 됩니다.
3.MD.D.8Guess And Check4STEP 4
삼각형 개수 세기
정사각형 4개는 각각 삼각형 2개로 만들어지므로, 직사각형에는 4 × 2 = 8개의 삼각형이 필요합니다.
4 × 2 = 8
3학년 곱셈: 정사각형 4개, 각 정사각형마다 삼각형 2개이므로 삼각형은 8개입니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems정답
8 개
4 × 2 = 8
직사각형은 가로 12 cm, 세로 3 cm이고, 둘레는 12 + 3 + 12 + 3 = 30 cm로 조건과 정확히 일치합니다. 직각을 이루는 두 변이 3 cm인 직각삼각형 8개의 넓이는 8 × (3 × 3 ÷ 2) = 36 제곱 cm이고, 이는 가로 12 cm, 세로 3 cm 직사각형의 넓이 36 제곱 cm와 같으므로 삼각형들이 빈틈없이 직사각형을 채웁니다.
핵심 정리
똑같은 삼각형 두 개가 모이면 작은 정사각형 하나가 되니까, 직사각형을 찾았으면 정사각형 개수를 두 배 하기만 하면 삼각형 개수를 셀 수 있어요!
- 삼각형 두 개를 모아 정사각형 만들기
- 정사각형을 한 줄로 늘어놓기
- 둘레를 30 cm에 맞추기
- 삼각형 개수 세기