심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
주어진 부등식을 두 번 이어 써서 최댓값을 잡는다.
음이 아닌 수 m, n에 대하여 2^m+2ⁿ ≤ 1+2^(m+n)이고 등호는 m=0 또는 n=0일 때 성립합니다. 음이 아닌 수 a, b, c가 a+b+c=4일 때 2^a+2^b+2^c의 최댓값을 구합니다.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 주어진 부등식은 거듭제곱 두 개를 다룹니다. a와 b에 한 번 쓰고, a+b를 지수 하나로 보아 c와 함께 한 번 더 쓰면 2^(a+b+c)=2⁴만 남습니다.
1STEP 1
a, b에 부등식 쓰기
a, b는 음이 아니므로 m=a, n=b로 놓을 수 있습니다.
2^a+2^b ≤ 1+2^(a+b)
거듭제곱 두 개가 1을 내주고 하나로 합쳐집니다.
7.EE.B.4Identify Subproblems2STEP 2
양변에 2^c 더하기
양변에 같은 수를 더해도 부등호 방향은 그대로입니다.
2^a+2^b+2^c ≤ 1+2^(a+b)+2^c
이제 우변에는 2의 거듭제곱이 두 개만 있습니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra3STEP 3
a+b, c에 부등식 한 번 더
a+b도 음이 아니므로 m=a+b, n=c로 놓습니다.
2^(a+b)+2^c ≤ 1+2^(a+b+c)
a+b를 한 덩어리로 봅니다.
7.EE.B.4Identify Subproblems4STEP 4
부등식 잇기
두 단계를 이어 붙이고 a+b+c=4를 씁니다.
2^a+2^b+2^c ≤ 1+1+2^(a+b+c)=2+2⁴=18
2^(a+b+c)=2⁴=16입니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra이다.
왜?
의 양쪽에 를 더하면 두 수가 수직선에서 같은 거리만큼 옮겨지므로 순서가 유지되어 이다.
🧱양변에 같은 수를 더해도 부등호는 그대로두 수를 수직선 위에서 같은 거리만큼 옮기면 오른쪽에 있던 수는 여전히 오른쪽에 있으므로, 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로이다.
왜?
와 에 주어진 사실을 쓰면 이고, 양쪽에 을 더해도 순서가 유지되어 이다.
🧱양변에 같은 수를 더해도 부등호는 그대로두 수를 수직선 위에서 같은 거리만큼 옮기면 오른쪽에 있던 수는 여전히 오른쪽에 있으므로, 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로이다.
왜?
"이하" 관계 두 개를 이으면 맨 왼쪽과 맨 오른쪽 사이의 관계 하나가 된다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
5STEP 5
상한에 닿는지 확인
등호가 되려면 a=0 또는 b=0이고, a+b=0 또는 c=0이어야 합니다. a=0, b=0, c=4를 넣어 봅니다.
2⁰+2⁰+2⁴=1+1+16=18
2⁰=1이므로 18이 실제로 나옵니다.
8.EE.A.1Guess And Check정답
18
다른 경우는 더 작습니다. (2,2,0)이면 4+4+1=9, (3,1,0)이면 8+2+1=11, (4/3,4/3,4/3)이면 약 7.6입니다. 4를 지수 하나에 몰아줄 때 한 항이 크게 불어나는 것이 두 배씩 커지는 거듭제곱의 성질과 맞습니다.
핵심 정리
두 수에 대한 사실로도 세 수를 다룰 수 있어요. 두 개를 한 덩어리로 묶어 두 번 쓰면 됩니다.
- a, b에 부등식 쓰기
- 양변에 2^c 더하기
- a+b, c에 부등식 한 번 더
- 부등식 잇기
- 상한에 닿는지 확인
다음은 어디로?
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.