심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

두 비를 하나로 잇고, 식을 비의 값으로 바꾼다.

$a:b=2:1$ , $b:c=2:3$ 일 때, $\frac{a(ab+bc)+b(bc+ca)+c(ca+ab)}{abc}$ 의 값을 구하시오.

비와 비율식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 다르게 정리하기 — 비만 알고 있으므로 식도 비로 바꿉니다. 큰 분수를 항별로 나누면 비 세 개와 3의 합이 되고, 두 비를 이으면 그 세 비가 모두 나옵니다.

1STEP 1

두 비에서 b를 같게 맞춥니다. a:b=2:1=4:2, b:c=2:3입니다.

a:b:c=4:2:3

2STEP 2

분자를 전개하고 각 부분을 abc로 나눕니다.

(a²b+abc)/(abc)+(b²c+abc)/(abc)+(c²a+abc)/(abc)=a/c+b/a+c/b+3

3STEP 3

a:b:c=4:2:3에서 읽습니다.

a/c=4/3, b/a=1/2, c/b=3/2

4STEP 4

1/2+3/2=2이고 2+3=5입니다.

4/3+1/2+3/2+3=19/3

정답

19/3

비에 맞는 수 a=4, b=2, c=3을 넣으면 분자는 4 × 14+2 × 18+3 × 20=152, abc=24이므로 152/24=19/3입니다.

핵심 정리

비만 주어지면 식을 비로 바꾸세요. 모르는 크기는 저절로 사라집니다.

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