심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
정수 부분을 떼어 내고 남은 진분수를 뒤집는 일을 반복해 연분수를 푼다.
83/13을 a + 1/(b + 1/(c + 1/(d + 1/2))) 꼴로 나타냈습니다. 자연수 a, b, c, d를 구해 a+b+c-d를 계산합니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 단계별로 쪼갭니다. 각 단계에서 정수 부분을 떼어 내고, 남은 진분수를 뒤집습니다(진분수 p/q는 1 ÷ q/p와 같습니다). 마지막 단계가 d + 1/2 꼴이 될 때까지 같은 일을 반복합니다.
1STEP 1
1단계: a 구하기
83을 13으로 나누면 13 × 6 = 78이고 나머지는 5입니다.
83/13 = 6 + 5/13
남은 5/13은 1보다 작으므로 a = 6입니다.
6.NS.A.1Identify Subproblems2STEP 2
2단계: 뒤집어서 b 구하기
분수는 1을 그 역수로 나눈 것과 같습니다.
5/13 = 1/(13/5), 13/5 = 2 + 3/5
따라서 b = 2이고 남은 수는 3/5입니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern남은 는 을 로 나눈 것으로 쓸 수 있고, 는 자연수 와 보다 작은 나머지로 나뉜다.
왜?
을 로 나누는 것은 에 무엇을 곱해야 이 되는지 묻는 것이고, 이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
은 가 두 번 들어가고 이 남으며 은 보다 작으므로, 이다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
왜?
탑에서 아래에 있는 부분은 모두 합해 보다 작으므로, 자연수 부분은 정확히 여야 한다.
왜?
아래 각 층은 을 '자연수와 양수 조각의 합'으로 나눈 것인데 그 합은 보다 크고, 을 하나보다 많은 몫으로 나누면 한 몫은 보다 작다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
3STEP 3
3단계: 다시 뒤집어 c 구하기
3/5에 같은 방법을 씁니다.
3/5 = 1/(5/3), 5/3 = 1 + 2/3
따라서 c = 1이고 남은 수는 2/3입니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern4STEP 4
4단계: d 구하기
2/3을 한 번 더 뒤집습니다.
2/3 = 1/(3/2), 3/2 = 1 + 1/2
d + 1/2 꼴과 맞으므로 d = 1입니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern5STEP 5
계산하기
a = 6, b = 2, c = 1, d = 1을 대입합니다.
6 + 2 + 1 - 1 = 8
a+b+c-d = 8입니다.
6.NS.A.1Identify Subproblems정답
8
아래에서부터 다시 쌓아 봅니다. 1 + 1/2 = 3/2, 1 + 2/3 = 5/3, 2 + 3/5 = 13/5, 6 + 5/13 = 83/13으로 처음 분수가 나옵니다.
핵심 정리
정수 부분을 떼고, 남은 것을 뒤집고, 반복하세요. 연분수는 그것뿐입니다.
- 1단계: a 구하기
- 2단계: 뒤집어서 b 구하기
- 3단계: 다시 뒤집어 c 구하기
- 4단계: d 구하기
- 계산하기
다음은 어디로?
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