심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
좌표축에 평행한 직사각형으로 둘러싸고 바깥 삼각형을 뺀다.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 , , 로 이루어진 삼각형 의 넓이를 구하시오.
도형수 체계
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 삼각형 대신 그 바깥을 봅니다. 좌표축에 평행한 직사각형으로 삼각형을 꼭 맞게 둘러싸면, 남는 조각은 두 변이 좌표의 차로 읽히는 직각삼각형입니다. 직사각형에서 이것들을 뺍니다.
1STEP 1
둘러싸는 직사각형 그리기
x는 -2부터 2, y는 -1부터 1까지이니 P(-2, 1), Q(-2, -1), C(2, -1), R(2, 1)인 직사각형으로 감쌉니다.
P(-2, 1), Q(-2, -1), R(2, 1)
가장 작은 x, y와 가장 큰 x, y를 씁니다.
6.G.A.3Draw A Diagram2STEP 2
직사각형의 넓이
가로는 2-(-2)=4, 세로는 1-(-1)=2입니다.
PQCR: (2-(-2)) × (1-(-1)) = 4 × 2 = 8
축 방향의 길이는 좌표의 차입니다.
7.NS.A.1Identify Subproblems3STEP 3
모서리 삼각형 세 개의 넓이
모서리 삼각형의 두 변은 APB가 3과 1, BQC가 1과 4, ACR이 1과 2입니다.
△ APB = 1/2 × 3 × 1 = 3/2, △ BQC = 1/2 × 1 × 4 = 2, △ ACR = 1/2 × 1 × 2 = 1
모서리 조각은 모두 격자선을 따라 두 변이 놓인 직각삼각형입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems4STEP 4
빼기
직사각형에서 모서리 삼각형 세 개를 빼고 남은 것이 삼각형 ABC입니다.
8 - (3/2 + 2 + 1) = 8 - 9/2 = 7/2
전체에서 필요 없는 부분을 뺍니다.
7.G.B.6Change Focus Count The Complement삼각형 는 직사각형에서 모서리의 세 삼각형을 떼어 내고 남은 부분이다: .
왜?
직사각형의 넓이는 이다.
왜?
가로는 와 사이의 간격 이고, 세로는 간격 이다.
🧱절댓값은 0까지의 거리|a|는 수직선에서 a가 0에서 떨어진 거리이므로 어느 쪽에 있든 음수가 될 수 없고, |a - b|는 a와 b 사이의 간격이다.
왜?
가로 , 세로 인 직사각형에는 단위정사각형이 개씩 줄 들어 있다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
모서리의 각 조각은 두 변이 격자를 따라가는 직각삼각형이므로, 넓이는 밑변과 높이의 곱의 절반이다.
🧱삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반삼각형 두 개를 맞추면 같은 밑변의 평행사변형이 되므로, 삼각형 하나는 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.
왜?
직사각형에서 세 모서리를 떼어 내면 정확히 삼각형만 남는다.
왜?
삼각형과 모서리의 세 삼각형은 빈틈도 겹침도 없이 직사각형을 채우므로, 네 넓이를 더하면 이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
모서리를 빼는 것은 더한 것을 되돌리므로 이 삼각형의 몫이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
정답
7/2
넓이가 8인 직사각형의 절반보다 작은데, 직사각형의 변에 세 점에서만 닿는 삼각형이므로 자연스럽습니다. 신발끈 공식으로도 1 × (0-(-1)) + (-2) × (-1-1) + 2 × (1-0) = 1+4+2 = 7의 절반인 7/2입니다.
핵심 정리
비스듬한 삼각형은 직사각형에서 직각삼각형 세 개를 잘라 낸 것이에요. 그 셋은 쉽게 구할 수 있지요.
- 둘러싸는 직사각형 그리기
- 직사각형의 넓이
- 모서리 삼각형 세 개의 넓이
- 빼기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
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