문제
면의 수가 늘어나면 꼭짓점과 모서리의 수도 늘어난다.
사각기둥의 두 꼭짓점을 각각 삼각뿔 모양만큼 잘라 냈습니다. 새로 생긴 입체도형의 모서리가 몇 개인지 구해야 합니다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 입체 전체를 다시 세지 말고, 이미 아는 사각기둥에서 출발해 한 번 자를 때 무엇이 바뀌는지만 따진 뒤 그것을 두 번 적용합니다.
1STEP 1
이미 아는 사각기둥에서 시작하기
사각기둥은 면 6개, 모서리 12개, 꼭짓점 8개입니다.
6, 12, 8
여기서 출발합니다.
6.G.A.4Draw A Diagram2STEP 2
한 번 자를 때 무엇이 바뀌는지 보기
꼭짓점 하나를 잘라 내면 그 자리에 삼각형이 생깁니다. 꼭짓점 하나가 사라지고 새 꼭짓점 셋, 새 모서리 셋이 생깁니다.
면 +1, 모서리 +3, 꼭짓점 -1+3
한 번 자르면 모서리가 세 개 늘어납니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships모퉁이를 한 번 자르면 모서리가 세 개 늘어난다.
왜?
모퉁이를 잘라 내면 꼭짓점 하나가 삼각형 면 하나로 바뀌고, 그 삼각형의 세 변은 모두 전에는 없던 모서리이다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
그 꼭짓점에서 만나던 세 모서리는 짧아질 뿐 사라지지 않으므로, 직육면체의 모서리 열두 개는 자른 뒤에도 모두 남는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
두 번 적용하기
꼭짓점 두 개를 자르므로 삼각형 면 두 개, 모서리 여섯 개가 늘고, 꼭짓점은 모두 네 개가 늘어납니다.
(면의 수) = 8, (꼭짓점의 수) = 12
이제 면 8개, 꼭짓점 12개입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems4STEP 4
모서리 세기
처음 모서리 12개는 그대로 있고, 자를 때마다 세 개씩 늘었습니다.
12 + 3 + 3 = 18
모서리는 18개입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems정답
18개
오일러 규칙으로 확인합니다. 12 - 18 + 8 = 2로, 이런 입체도형이라면 반드시 그래야 하는 값입니다.
핵심 정리
한 번의 변화가 무엇을 하는지 알아낸 뒤 반복하세요. 복잡한 그림을 다시 세는 것보다 훨씬 안전합니다.
- 이미 아는 사각기둥에서 시작하기
- 한 번 자를 때 무엇이 바뀌는지 보기
- 두 번 적용하기
- 모서리 세기