심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
원점을 지나는 이등분선이 어느 변과 만나는지부터 정한다.
x축 위에 놓인 사각형이 있고, 원점은 아랫변 위에 있습니다. 원점을 지나 이 사각형의 넓이를 반으로 나누는 직선 y=ax를 구합니다.
도형함수
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 작은 문제로 쪼갭니다. 먼저 전체 넓이를 구합니다(AB, DC가 모두 세로이므로 사다리꼴입니다). 다음으로 직선이 어느 변과 만나는지 정합니다. 꼭짓점 A를 지나는 직선으로 잘라 보았을 때 이미 넓이가 너무 크면, 진짜 직선은 A보다 아래에서 변 AB와 만납니다. 마지막으로 삼각형 하나의 넓이로 교점을 구하고 기울기를 얻습니다.
1STEP 1
전체 넓이
AB와 DC가 세로이므로 ABCD는 평행한 두 변이 6과 2, 높이가 2-(-6)=8인 사다리꼴입니다.
1/2×(6+2) × 8=32
나뉜 부분은 각각 넓이가 16이어야 합니다.
6.G.A.1Identify Subproblems2STEP 2
A를 지나는 직선으로 시험하기
O와 A를 지나는 직선은 밑변 BO=6, 높이 6인 삼각형 ABO를 잘라 냅니다.
1/2 × 6 × 6=18 ＞ 16
왼쪽이 너무 크므로 이등분선은 더 완만해서 A보다 아래쪽에서 변 AB와 만납니다.
6.G.A.3Eliminate Possibilities3STEP 3
변 AB 위의 교점 찾기
직선과 AB의 교점을 P(-6, k)라 하면 왼쪽 부분은 밑변 BO=6, 높이 k인 삼각형 PBO입니다.
1/2 × 6 × k=16 → k=16/3
16/3은 6보다 작으므로 P는 정말 변 AB 위에 있습니다.
6.G.A.1Draw A Diagram직선은 삼각형 의 넓이가 이 되는 점 에서 와 만난다.
왜?
직선은 사각형을 삼각형 와 나머지로 나누고 두 조각을 더하면 이므로, 똑같이 나누려면 각각 이어야 한다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
삼각형 는 축 위의 밑변 을 가지고 는 그 위로 만큼 떨어져 있으므로 넓이는 이다.
🧱삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반삼각형 두 개를 맞추면 같은 밑변의 평행사변형이 되므로, 삼각형 하나는 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.
4STEP 4
원점을 지나는 직선의 기울기
직선 y=ax가 점 P(-6, 16/3)을 지납니다.
16/3=-6a → a=-8/9
기울기가 음수이므로 직선은 왼쪽 위, 곧 AB 쪽으로 올라갑니다.
8.F.A.3Convert To Algebra정답
y=-(8/9)x
왼쪽 부분은 밑변 6, 높이 16/3인 삼각형으로 넓이 16, 오른쪽 부분은 32-16=16이라 같습니다. 기울기 -8/9는 직선 OA의 기울기 -1보다 조금 완만해 둘째 단계의 시험 결과와도 맞습니다.
핵심 정리
도형을 반으로 자르기 전에 칼이 어느 변에 닿는지부터 알아보세요. 꼭짓점 하나로 시험하면 바로 알 수 있어요.
- 전체 넓이
- A를 지나는 직선으로 시험하기
- 변 AB 위의 교점 찾기
- 원점을 지나는 직선의 기울기
다음은 어디로?
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