심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

지수를 같게 맞추면 밑만 비교하면 된다.

다음 보기의 네 수 중에서 가장 큰 수와 가장 작은 수를 차례대로 고르시오.

보기: $2^{40}$ , $3^{30}$ , $5^{20}$ , $15^{10}$

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 — 밑을 비교하려 애쓰는 대신 지수에 눈을 돌립니다. 40, 30, 20, 10은 모두 10의 배수이므로 네 수를 모두 10제곱 꼴로 바꾸면 밑만 비교하면 됩니다.

1STEP 1

네 지수가 모두 10의 배수이므로 ( )¹⁰ 꼴을 목표로 합니다.

40=4×10, 30=3×10, 20=2×10

2STEP 2

거듭제곱의 거듭제곱 법칙을 거꾸로 씁니다.

2⁴⁰=(2⁴)¹⁰=16¹⁰, 3³⁰=(3³)¹⁰=27¹⁰, 5²⁰=(5²)¹⁰=25¹⁰

3STEP 3

양수인 밑에 같은 양의 지수가 붙으면 밑이 클수록 거듭제곱도 큽니다.

15 ＜ 16 ＜ 25 ＜ 27 → 15¹⁰ ＜ 16¹⁰ ＜ 25¹⁰ ＜ 27¹⁰

4STEP 4

각 10제곱을 원래 수로 바꿔 씁니다.

15¹⁰ ＜ 2⁴⁰ ＜ 5²⁰ ＜ 3³⁰

정답

3³⁰, 15¹⁰

대략적인 크기로도 맞습니다. 2⁴⁰≈1.1×10¹², 3³⁰≈2.1×10¹⁴, 5²⁰≈9.5×10¹³, 15¹⁰≈5.8×10¹¹이므로 가장 큰 수는 3³⁰, 가장 작은 수는 15¹⁰입니다.

핵심 정리

밑도 지수도 다르면 지수부터 맞추세요. 그다음은 밑이 다 말해 줍니다.

다음은 어디로?

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