심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
세 직선이 삼각형을 못 만드는 경우는 평행하거나 한 점에서 만날 때다.
점 에서 만나는 두 직선 , 과 직선 를 그렸을 때, 세 직선으로 둘러싸인 삼각형이 생기지 않기 위한 상수 의 값을 모두 구하시오. (단, 은 상수)
식·방정식함수
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 삼각형이 안 생기는 경우를 빠짐없이 나열합니다. 세 번째 직선이 첫 번째 직선과 평행하거나, 두 번째 직선과 평행하거나, 앞의 두 직선의 교점을 지나는 경우입니다. (y절편이 3, -1, 5로 모두 다르므로 두 직선이 일치하는 일은 없습니다.) 먼저 주어진 교점으로 m을 구하고, 경우마다 a에 대한 식을 세웁니다.
1STEP 1
m 구하기
직선 y=mx-1이 점 (4, 7)을 지납니다.
7=4m-1 → m=2
이제 a만 빼고 세 직선이 모두 정해졌습니다.
8.F.A.3Convert To Algebra2STEP 2
경우 1: 세 직선이 한 점에서 만날 때
y=ax+5도 점 (4, 7)을 지나면 세 교점이 한 점으로 모입니다.
7=4a+5 → a=1/2
한 점을 지나는 세 직선은 별 모양이 될 뿐 삼각형이 아닙니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra3STEP 3
경우 2: y = x + 3과 평행할 때
기울기가 같고 y절편이 다르면(5 ≠ 3) 평행하므로 두 직선은 만나지 않습니다.
a=1
꼭짓점 하나가 사라지면 삼각형이 될 수 없습니다.
8.EE.C.8Make A Systematic List4STEP 4
경우 3: y = 2x - 1과 평행할 때
마찬가지로 기울기를 m=2와 같게 하면 두 번째 직선과 평행합니다(5 ≠ -1).
a=2
이번에도 한 쌍이 만나지 않습니다.
8.EE.C.8Make A Systematic List5STEP 5
경우 모으기
그 밖의 a에서는 세 번째 직선이 나머지 두 직선과 (4, 7)이 아닌 서로 다른 두 점에서 만나므로 삼각형이 생깁니다.
a=1/2, 1, 2
안 되는 값은 정확히 세 개입니다.
8.EE.C.8Make A Systematic List세 직선이 삼각형을 만들지 못하는 것은 , , 일 때뿐이다.
왜?
삼각형에는 각 직선 쌍이 만나는 서로 다른 꼭짓점 세 개가 필요한데, 이를 망치는 경우가 두 가지 있다.
왜?
세 번째 직선이 다른 직선과 기울기는 같고 절편이 다르면 두 직선은 평행하여 만나지 않으므로 꼭짓점 하나가 없다.
🧱평행선의 간격은 일정하다두 평행선은 결코 만나지 않으며 어디에서 재도 둘 사이 거리는 같다.
왜?
이 를 참으로 만들면 세 꼭짓점이 모두 그 한 점이 된다.
왜?
이 를 참으로 만든다는 것은 세 번째 직선이 나머지 두 직선의 교점을 지난다는 뜻이다.
🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.
왜?
서로 다른 두 직선은 많아야 한 번 만나므로, 그 공통점이 모든 직선 쌍의 유일한 교점이 되어 세 꼭짓점이 그 한 점으로 모인다.
🧱서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만난다두 점이 직선 하나를 정하므로 두 점을 함께 지나는 두 직선은 같은 직선이다; 서로 다른 직선은 한 번 만나거나, 평행하면 만나지 않는다.
정답
a=1/2, 1, 2
되는 값 하나를 확인해 봅니다. a=0이면 y=5는 y=x+3과 (2, 5)에서, y=2x-1과 (3, 5)에서 만나고, (4, 7)까지 세 꼭짓점이 모두 달라 삼각형이 생깁니다. 특별한 값에서만 깨진다는 뜻입니다.
핵심 정리
삼각형에는 서로 다른 꼭짓점 세 개가 필요해요. 그러니 꼭짓점을 잃는 경우, 즉 평행하거나 한 점에서 만나는 경우를 찾으면 돼요.
- m 구하기
- 경우 1: 세 직선이 한 점에서 만날 때
- 경우 2: y = x + 3과 평행할 때
- 경우 3: y = 2x - 1과 평행할 때
- 경우 모으기
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