심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
대칭축과 대칭의 중심은 대응점을 이은 선분을 이등분한다.
오른쪽 그림에서 직선 가를 대칭축으로 하여 선대칭도형을 그리려고 합니다. 삼각형 ㄱㄴㄷ이 이등변삼각형일 때, 삼각형 ㄱㄴㄷ의 넓이는 몇 인지 구하시오.
도형
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 점 ㄴ을 대칭축에 대해 뒤집어 대응점 ㄹ을 그려 넣으면 기울어진 그림이 완전한 선대칭도형으로 바뀌어 길이를 잴 수 있습니다. 대응점 ㄹ이 보이면 문제가 작은 단계로 나뉩니다. 먼저 삼각형 ㄱㄴㄹ의 모양을 알아내고(꼭지각이 30+30), 다음으로 삼각형 ㄱㄴㄷ의 높이가 선분 ㄴㄹ의 절반임을 읽어 내고, 마지막에 넓이 공식을 씁니다.
1STEP 1
점 ㄴ을 대칭축에 대해 뒤집기
B를 축 너머로 비추어 B'를 얻자. 대칭이라 AB'는 AB와 같고 꼭지각은 60도가 된다.
∠ BAB' = 30^° + 30^° = 60^°
대칭축은 거울처럼 똑같은 짝을 만든다는 것을 4학년이면 알기에, 대응하는 변과 대응하는 각이 서로 같습니다.
4.G.A.3Draw A Diagram2STEP 2
정삼각형임을 알아보기
같은 두 변에 꼭지각이 60도이면 밑각도 60도라, BB'도 12 cm다.
(180^° - 60^°) ÷ 2 = 60^°, BB' = 12 cm
두 변이 같으면 두 밑각도 같아지고, 꼭지각이 60도이면 세 각이 모두 60도가 되어 정삼각형이 됩니다.
4.MD.C.5Identify Subproblems3STEP 3
삼각형 ㄱㄴㄷ의 높이 구하기
축이 BB'를 반으로 가르므로 B는 AC에서 12 ÷ 2 = 6 cm 떨어져 있고, 그것이 높이다.
12 ÷ 2 = 6 cm
대칭축은 접는 선이라 모든 점이 그 선에서 같은 거리에 있고, 선분 ㄴㄹ의 절반이 바로 점 ㄴ이 밑변 ㄱㄷ에서 떨어진 거리입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram대칭축은 B와 그 대응점을 잇는 선분을 정확히 반으로 가르므로, B는 축에서 6 cm 떨어져 있다.
왜?
대응점은 축을 따라 접었을 때 B가 놓이는 자리이고, 접기는 거리를 바꾸지 않고 B를 그 자리로 옮긴다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
그 접기는 B와 대응점을 서로 맞바꾸므로, 접는 선은 둘에서 같은 거리에 있어야 하고 그 자리가 두 점을 잇는 선분의 한가운데다.
왜?
그 선분의 두 반쪽은 접는 선을 사이에 두고 짝지어지므로, 어느 쪽도 다른 쪽보다 길 수 없다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
넓이 계산하기
밑변 AC가 12 cm, 높이가 6 cm이니 넓이는 12 × 6 ÷ 2 = 36 cm²다.
12 × 6 ÷ 2 = 36 (cm²)
삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반으로, 3학년에서 배우는 직사각형의 절반 개념과 같습니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems정답
36 cm²
밑변이 12 cm, 높이가 6 cm이므로 답 36 cm²는 삼각형을 둘러싼 72 cm² 직사각형의 절반입니다. 단위가 넓이인 cm²로 맞고, 12 cm 변을 가진 삼각형의 넓이로 크기도 자연스럽습니다.
핵심 정리
대칭축은 접는 선이라 대응점은 반대쪽 같은 거리에 있고, 그 거울 간격의 절반이 바로 삼각형의 높이가 됩니다.
- 점 ㄴ을 대칭축에 대해 뒤집기
- 정삼각형임을 알아보기
- 삼각형 ㄱㄴㄷ의 높이 구하기
- 넓이 계산하기
다음은 어디로?
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