심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
상수가 없는 두 직선으로 공통점을 먼저 구한다.
네 개의 직선 , , , 가 한 점에서 만날 때, 상수 , 의 값을 각각 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 모르는 상수 대신 공통점에 관점을 둡니다. 상수가 없는 두 직선만으로 그 점이 정해집니다. 그 점을 나머지 두 직선에 대입하면 a, b에 대한 연립방정식이 됩니다.
1STEP 1
알려진 두 직선으로 교점 구하기
3x+y=8, x+3y=8을 풉니다. 두 식을 더하면 4x+4y=16이므로 x+y=4이고, 빼면 2x-2y=0이므로 x=y입니다.
x = y = 2
서로 다른 두 직선은 꼭 한 점에서 만나므로 이 점이 네 직선의 공통점입니다.
8.EE.C.8Change Focus Count The Complement2STEP 2
상수가 있는 직선에 교점 대입하기
점 (2, 2)는 ax+by=4와 2ax-3by=-22 위에도 있습니다.
2a + 2b = 4, 4a - 6b = -22
이제 a, b가 새 연립방정식의 미지수입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra공통인 점 는 와 를 모두 참으로 만들므로 , 가 된다.
왜?
공통인 점은 과 위에 있고, 균형 잡힌 두 등식을 더하거나 빼도 균형은 유지되므로 , 가 되어 그 점은 이다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
점이 직선 위에 있다는 것은 그 점의 , 를 직선의 방정식에 넣으면 양변이 같아진다는 뜻이므로, 상수가 있는 두 직선에 , 를 넣으면 참인 식이 나와야 한다.
🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.
3STEP 3
두 식 간단히 하기
두 식의 양변을 각각 2로 나눕니다.
a + b = 2, 2a - 3b = -11
계수가 작아지면 계산 실수가 줄어듭니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra4STEP 4
a, b 구하기
a = 2 - b를 두 번째 식에 대입합니다.
2(2-b) - 3b = -11 → 4 - 5b = -11 → b = 3, a = 2 - 3 = -1
대입 한 번으로 연립방정식이 풀립니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra정답
a=-1, b=3
a=-1, b=3이면 두 직선은 -x+3y=4, -2x-9y=-22이고, (2, 2)를 넣으면 -2+6=4, -4-18=-22로 성립합니다. 3x+y=8, x+3y=8도 (2, 2)를 지나므로 네 직선이 모두 한 점에서 만납니다.
핵심 정리
여러 직선이 한 점을 지나면, 다 알려진 직선들로 그 점부터 찾으세요.
- 알려진 두 직선으로 교점 구하기
- 상수가 있는 직선에 교점 대입하기
- 두 식 간단히 하기
- a, b 구하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
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