문제
겹쳐진 원의 중심을 지나는 선분의 길이는 반지름의 몇 배다.
반지름이 5 cm로 모두 같은 원 21개가 한 줄로 놓여 있고, 각 원은 바로 옆 원의 중심을 지납니다. 모든 중심은 한 직선 위에 있으며, 선분 ㄱㄴ은 가장 왼쪽 원의 바깥 끝점 ㄱ에서 가장 오른쪽 원의 바깥 끝점 ㄴ까지의 길이입니다. 선분 ㄱㄴ의 길이를 구합니다.
연산도형
내 답
cm인가요?
조심 원 21개의 지름을 그대로 더하기(21 × 10 = 210 cm) 쉽지만, 원들이 겹쳐 있어서 각 원은 반지름 하나(5 cm)만 새로 늘립니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 중심들이 놓인 직선을 그리고 똑같은 칸들을 표시합니다. 원을 2개, 3개로 줄여서 먼저 해 보면 선분 ㄱㄴ이 똑같은 5 cm 조각들로 이루어진다는 규칙이 보입니다. 그 조각의 개수를 세어 곱하면 전체 길이를 구할 수 있습니다.
1STEP 1
똑같은 칸들을 표시하기
선분 ㄱㄴ을 따라가면 ㄱ에서 첫 중심까지 반지름 한 개(5 cm), 중심 사이도 한 개씩, 마지막 중심에서 ㄴ까지도 한 개입니다.
ㄱ → C₁ = 5, C₁ → C₂ = 5, …, C₂1 → ㄴ = 5
원의 중심에서 바깥까지의 거리는 반지름이므로, 선분 ㄱㄴ의 모든 조각은 똑같이 5 cm입니다.
3.G.A.1Draw A Diagram선분 GN의 모든 조각은 길이가 같은 반지름 하나(5 cm)이다: G에서 첫 중심까지, 각 중심에서 다음 중심까지, 그리고 마지막 중심에서 N까지 모두 그렇다.
왜?
GN은 그 조각들을 빈틈도 겹침도 없이 끝과 끝으로 이어 붙인 것이므로, GN의 길이는 그 조각들을 더한 값일 뿐이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
각 조각은 반지름 하나만큼이다: 그림은 모든 원이 다음 중심을 지나도록 그려져 그 다음 중심이 원의 둘레 위에 놓이고, G와 N은 양 끝의 둘레 위 점이기 때문이다.
왜?
원의 둘레 위에 있는 점은 그 원의 중심에서 정확히 반지름 하나만큼 떨어져 있는데, 이 일정한 중심-둘레 거리가 바로 반지름의 뜻이기 때문이다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
그 반지름들은 21개의 원이 모두 같은 크기이므로 전부 같은 5 cm이고, 따라서 각 조각은 반지름과 같고 각 반지름은 5 cm와 같으므로 모든 조각이 5 cm가 된다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
2STEP 2
작은 경우로 조각 수 세기
작은 경우: 원 2개 → 3조각(2+1), 3개 → 4조각(3+1), 따라서 21개 → 22개의 5 cm 조각입니다.
조각 수 = 21 + 1 = 22
양 끝에 반지름을 하나씩 더하기 때문에, 중심 사이를 건너뛰는 횟수보다 칸이 항상 하나 더 많습니다.
3.OA.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
곱해서 전체 길이 구하기
똑같은 조각 22개가 각각 5 cm이므로 22 × 5 = 110입니다.
22 × 5 = 110
똑같은 길이가 여러 개 이어지면 곱셈으로 전체를 구할 수 있고, 이는 100 안의 3학년 곱셈입니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern정답
110 cm
22 × 5 = 110
답의 단위는 길이에 맞는 cm입니다. 5 cm짜리 조각 22개는 100과 120 사이에 있고, 22 × 5 = 110 cm는 지름이 10 cm인 원 21개가 많이 겹쳐 놓인 줄에 알맞은 길이입니다.
핵심 정리
칸 하나가 모두 반지름 한 개이니, 칸의 개수만 세어 곱하면 끝 -- 이미 아는 3학년 곱셈이에요!
- 똑같은 칸들을 표시하기
- 작은 경우로 조각 수 세기
- 곱해서 전체 길이 구하기