문제
대칭축은 선대칭도형을 똑같은 모양 2개로 나눈다.
정십각형은 변이 10개이고 모든 변의 길이가 같으며 모든 각의 크기가 같은 다각형입니다. 이 도형의 대칭축이 몇 개인지 세어야 합니다. 대칭축이란 도형을 접었을 때 두 부분이 정확히 포개지도록 나누는 직선입니다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 대칭은 눈으로 보는 개념이므로 정십각형을 그려 접는 선이 어디로 지나가는지 그려 봅니다. 센 개수를 믿을 수 있도록 먼저 더 쉬운 정다각형(정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형)을 그려 보고 변의 수와 대칭축 수 사이의 규칙을 찾은 다음, 그 규칙을 변이 10개인 경우에 적용합니다.
1STEP 1
접는 선 상상하기
한쪽 반이 다른 쪽에 정확히 포개지는 접는 선이 대칭축이고, 그 선들은 모두 중심을 지난다.
4학년 학생도 종이 도형을 접어 두 부분이 서로 포개지는지 확인하여 대칭축을 찾을 수 있습니다. 여기서는 그 접기를 머릿속으로 상상할 뿐입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram2STEP 2
더 쉬운 정다각형 먼저 해 보기
작은 도형을 접어 보면 정삼각형 3, 정사각형 4, 정오각형 5, 정육각형 6이다.
triangle → 3, square → 4, pentagon → 5, hexagon → 6
작은 도형은 접어서 확인하기 쉬우므로, 변이 10개인 경우를 풀기 전에 규칙에 대한 확신을 줍니다.
4.G.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
규칙 발견하기
모든 경우에서 대칭축의 수는 변의 수와 같습니다. 변이 n개인 정다각형은 정확히 n개의 대칭축을 가집니다.
lines of symmetry = n (number of sides)
각 변과 각 꼭짓점이 중심을 사이에 두고 서로 짝을 이루기 때문에, 접는 선이 변 하나당 하나씩 깔끔하게 생깁니다.
4.G.A.3Look For A Pattern변이 n개인 정다각형에는 대칭축이 정확히 n개 있다.
왜?
대칭축은 도형을 자기 자신에 정확히 포개는 접는 선이고, 접기는 모든 길이와 각을 그대로 옮긴다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
그런 접는 선은 꼭짓점을 꼭짓점으로 보내야 하므로 마주 보는 꼭짓점 둘을 지나거나 마주 보는 변의 한가운데 둘을 지나고, 그런 경우가 꼭 n가지다.
왜?
접는 선을 사이에 두고 꼭짓점 하나가 꼭짓점 하나와 딱 짝지어지므로, 접는 선을 변과 하나씩 맞대어 셀 수 있다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
변이 10개인 경우에 적용하기
정십각형은 마주 보는 꼭짓점으로 5개, 마주 보는 변 가운데로 5개, 모두 10개다.
5 + 5 = 10
10은 짝수이므로 마주 보는 꼭짓점끼리, 마주 보는 변의 중점끼리 짝을 이루어 접는 선이 각각 5개씩 두 묶음으로 생깁니다.
4.G.A.3Draw A Diagram정답
10개
답은 자연수 10으로, 변이 n개인 정다각형은 대칭축이 n개라는 규칙과 일치합니다. 꼭짓점을 지나는 선 5개와 변을 지나는 선 5개(5 + 5 = 10)로 합리적으로 나뉘며, 확인한 작은 경우들(정삼각형 3, 정사각형 4, 정오각형 5, 정육각형 6)과도 들어맞습니다.
핵심 정리
정다각형은 변의 수만큼 대칭축을 가집니다. 그래서 변이 10개인 정십각형은 대칭축이 10개입니다.
- 접는 선 상상하기
- 더 쉬운 정다각형 먼저 해 보기
- 규칙 발견하기
- 변이 10개인 경우에 적용하기
다음은 어디로?
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