심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
연속되는 자연수는 1씩 커진다.
1씩 커지는 여섯 개의 수 251, 252, 253, 254, 255, 256을 모두 더하여 그 합을 구해야 합니다.
연산자릿값
내 답
조심 한 쌍의 합인 507에서 멈추면 안 돼요 — 그건 같은 세 쌍 중 하나일 뿐, 전체 합이 아니에요.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 연속하는 수에는 균형을 이루는 패턴이 있습니다. 가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 부분합이 모두 같아집니다. 이 패턴을 알아채면 여섯 번의 덧셈이 간단한 곱셈 하나로 바뀝니다.
1STEP 1
바깥쪽부터 안쪽으로 짝짓기
첫 번째 수와 마지막 수, 두 번째 수와 다섯 번째 수, 세 번째 수와 네 번째 수를 짝지읍니다. 각 짝의 합은 모두 같습니다.
251+256 = 507, 252+255 = 507, 253+254 = 507
수가 1씩 커질 때 한쪽 끝에 더한 만큼 다른 쪽 끝에서 빠지므로, 바깥쪽부터 안쪽으로 짝지은 합은 항상 같습니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern여섯 수를 바깥에서 안으로 짝지으면 — 첫째와 마지막, 둘째와 다섯째, 셋째와 넷째 — 각 짝의 합이 모두 같은 507이 된다.
왜?
한 짝에서 그 안쪽 짝으로 옮겨 가면 작은 수는 1 커지고 큰 수는 1 작아지는데, 여섯 수가 매번 정확히 1씩 커지기 때문이다.
왜?
한 수가 1 커지고 다른 수가 1 작아지는 것은 서로 반대되는 변화라, 짝의 합은 움직이지 않는다.
왜?
1을 더했다가 그 1을 다시 빼면 처음 자리로 정확히 돌아오는데, 빼기가 더하기를 되돌리기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
커진 만큼과 똑같이 작아진 만큼을 합치면 변화가 0이고, 합에 0을 더하면 그대로 남는다.
🧱덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.
2STEP 2
같은 짝의 개수 세기
여섯 개의 수는 세 쌍으로 나뉘고, 각 쌍의 합은 모두 507입니다. 따라서 전체 합은 507이 세 개 있는 것과 같습니다.
507 × 3
같은 합이 반복되는 것을 곱셈으로 바꾸면 하나씩 더하는 것보다 빠르고 실수도 줄어듭니다.
3.OA.D.9Identify Subproblems3STEP 3
곱해서 합 구하기
507 × 3 을 계산하여 최종 합을 얻습니다.
507 × 3 = 1521
작은 곱셈 하나가 여섯 번의 덧셈이 할 일을 대신 끝내 줍니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems정답
1521
507 × 3 = 1521
여섯 개의 수는 253.5 부근에 모여 있으므로, 합은 6 × 253.5 = 1521 근처여야 합니다. 우리 답 1521은 정확히 일치하고, 253 부근의 수 여섯 개를 더한 결과가 짝수라는 점도 잘 맞습니다. 크기 감각도 합리적입니다.
핵심 정리
연속하는 수의 양 끝을 짝지으면 합이 모두 같아져요. 그러니 한 짝의 합에 짝의 개수를 곱하면 끝이에요!
- 바깥쪽부터 안쪽으로 짝짓기
- 같은 짝의 개수 세기
- 곱해서 합 구하기
다음은 어디로?
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