문제
직선은 한 바퀴(360)의 절반(180)이다.
정육각형의 여섯 변을 각각 한 방향으로 길게 늘였습니다. 각 꼭짓점마다 변과 다음 변의 연장선이 이루는 바깥쪽 각이 하나씩 생깁니다. 여섯 개의 바깥쪽 각 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤, ㉥의 크기를 모두 더한 값을 구해야 합니다.
도형측정·데이터
내 답
도인가요?
조심 바깥쪽 각 하나의 크기(60도)를 구한 뒤 그것을 답으로 내기 쉽지만, 실제로는 여섯 각을 모두 더해야 합니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 전체를 두 가지 쉬운 사실로 나눕니다. 정육각형의 내각의 합은 이미 아는 방법으로 구할 수 있고, 각 꼭짓점에서 (내각) + (바깥쪽 각) = 180도가 됩니다. 직선이 180도이기 때문입니다. 이 두 가지를 합치면 각을 직접 재지 않고도 바깥쪽 각의 합을 구할 수 있습니다.
1STEP 1
정육각형의 한 내각 구하기
한 꼭짓점에서 대각선을 그어 4개의 삼각형으로 나누면 내각의 합은 4 x 180 = 720도이므로, 한 내각은 720 / 6 = 120도입니다.
((6-2)× 180°)/6 = 720°/6 = 120°
다각형을 삼각형으로 쪼개어 각의 합을 구하는 것은 바로 4학년에서 배우는 방법이고, 삼각형 하나의 세 각의 합은 180도입니다.
4.G.A.2Solve An Easier Related Problem2STEP 2
직선을 이용해 바깥쪽 각 하나 구하기
변과 그 연장선이 이루는 직선에서 내각과 바깥쪽 각의 합은 180도이므로, 바깥쪽 각은 180 - 120 = 60도입니다.
180° - 120° = 60°
직선 위의 두 각은 합쳐서 180도를 채워야 하므로, 빼면 남는 바깥쪽 각이 나옵니다.
4.MD.C.7Draw A Diagram정육각형의 각 외각은 60도이다.
왜?
각 꼭짓점에서 한 변과 다음 변의 연장선이 하나의 직선 위에 놓이므로, 내각과 외각이 함께 180도를 채운다.
🧱평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
왜?
그 내각은 120도이고, 이는 180도 중에서 외각이 차지하지 않는 부분이다.
왜?
육각형의 여섯 내각을 모두 더하면 720도이다.
왜?
한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 육각형이 4개의 삼각형으로 나뉘고, 그 삼각형들의 꼭지각이 빈틈도 겹침도 없이 딱 맞춰져 여섯 내각을 이룬다.
왜?
각 삼각형의 세 각을 더하면 180도이다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
왜?
삼각형의 각들이 빠짐도 중복도 없이 내각을 완전히 덮으므로, 조각들을 다시 더하면 전체가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
각각 180도를 가진 삼각형 4개는 180이 든 같은 묶음 4개이므로 720이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
육각형이 정육각형이라 여섯 내각이 모두 같으므로, 각각은 720을 6등분한 값이고, 이렇게 똑같이 나누는 것은 곱하기를 거꾸로 한 것이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
따라서 외각은 평각 180에서 내각 120을 뺀 나머지이고, 뺄셈이 그 나머지를 찾아준다: 60.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
3STEP 3
여섯 바깥쪽 각 모두 더하기
여섯 개의 바깥쪽 각이 모두 60도로 같으므로, 그 합은 6 x 60 = 360도입니다.
6 × 60° = 360°
같은 크기의 각 여섯 개를 더하는 것은 곧 같은 수의 반복된 덧셈(곱셈)이고, 이는 아이들이 이미 잘 아는 셈입니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
360 도
6 × 60 = 360
60도짜리 각 여섯 개의 합은 360도로, 정확히 한 바퀴입니다. 정육각형의 바깥쪽을 따라 각 바깥쪽 각만큼 방향을 틀며 한 바퀴 걸으면 처음 향하던 방향으로 다시 돌아오게 되므로 자연스러운 결과입니다.
핵심 정리
어떤 다각형이든 바깥을 따라 한 바퀴 돌면 꼭 한 바퀴(360도)만큼 방향이 바뀌므로, 바깥쪽 각의 합은 늘 360도예요!
- 정육각형의 한 내각 구하기
- 직선을 이용해 바깥쪽 각 하나 구하기
- 여섯 바깥쪽 각 모두 더하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천