심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
해가 없으려면 x의 계수가 0이고 상수 비교가 거짓이어야 한다.
부등식 ax+1 ＜ 3x+b의 x항을 한쪽으로 모으고, 어떤 x도 성립하지 않으려면 계수가 어떠해야 하는지 정한 뒤 a+b가 가장 커지는 경우를 찾습니다.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 부등식을 (수) · x ＜ (수) 꼴로 정리합니다. x의 계수가 0이 아니면 항상 해가 생기므로 그 경우를 지우고, 남은 경우에는 x가 사라져 참·거짓만 남는 식을 따집니다.
1STEP 1
x항 모으기
양변에서 3x와 1을 뺍니다.
ax+1 ＜ 3x+b → (a-3)x ＜ b-1
이제 x의 계수는 a-3, 상수항은 b-1입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra2STEP 2
계수가 0이 아니면 해가 있다
a-3 ≠ 0이면 양변을 a-3으로 나눌 수 있고, 부호와 관계없이 해가 생기므로 a-3=0이어야 합니다.
a-3=0
양수로 나누든 음수로 나누든 해의 방향만 바뀔 뿐, 해가 사라지지는 않습니다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities이 이 아니면 부등식 에는 해가 있으므로, 해가 없으려면 이어야 한다.
왜?
이 양수이면 양변을 그것으로 나누어도 순서가 그대로여서 이 되고, 충분히 작은 는 모두 이를 만족한다.
🧱부등식의 양변에 곱하기양변에 같은 양수를 곱하면 수직선 위의 간격이 늘어나거나 줄어들어도 순서는 그대로이고, 같은 음수를 곱하면 0을 중심으로 뒤집히므로 부등호 방향이 바뀐다.
왜?
이 음수이면 그것으로 나눌 때 부등호가 뒤집혀 이 되고, 충분히 큰 는 모두 이를 만족한다.
🧱부등식의 양변에 곱하기양변에 같은 양수를 곱하면 수직선 위의 간격이 늘어나거나 줄어들어도 순서는 그대로이고, 같은 음수를 곱하면 0을 중심으로 뒤집히므로 부등호 방향이 바뀐다.
왜?
양수와 음수가 모두 걸러졌으므로 에 남은 값은 뿐이다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
남은 식이 거짓이 되게 하기
a=3이면 부등식은 0 · x ＜ b-1, 즉 모든 x에 대하여 0 ＜ b-1이 됩니다. 이 식이 거짓일 때에만 해가 없습니다.
0 ＜ b-1이 거짓 ⇔ b-1 ≤ 0 ⇔ b ≤ 1
해가 없는 일차방정식처럼 x가 지워지고 거짓인 수식만 남아야 합니다.
8.EE.C.7Identify Subproblems4STEP 4
a+b의 최댓값
a=3, b ≤ 1이므로 a+b는 3+1 이하입니다.
a+b=3+b ≤ 3+1=4
b가 가장 클 때인 b=1에서 a+b=4입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra정답
4
a=3, b=1을 넣으면 3x+1 ＜ 3x+1, 즉 1 ＜ 1이 되어 모든 x에 대하여 거짓이므로 정말 해가 없습니다. b=1.5라면 1 ＜ 1.5가 되어 모든 x가 해가 되므로 b는 1보다 클 수 없습니다.
핵심 정리
"해가 없다"는 말은 x가 완전히 지워져야 한다는 강력한 신호예요.
- x항 모으기
- 계수가 0이 아니면 해가 있다
- 남은 식이 거짓이 되게 하기
- a+b의 최댓값
다음은 어디로?
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