문제
점대칭도형 전체를 그려 둘레를 구하는 식을 만든다.
직사각형 ㄱㄴㄷㄹ에서 위쪽 긴 변 ㄱㄹ은 15 cm, 왼쪽 짧은 변 ㄱㄴ은 9 cm입니다. 점 ㅇ은 오른쪽 변 ㄹㄷ 위에서 꼭짓점 ㄷ에 가까운 쪽에 있습니다. 이 직사각형을 점 ㅇ을 중심으로 180도 돌려 또 하나의 도형을 만들고, 두 도형을 합쳐 하나의 점대칭도형을 완성합니다. 완성된 도형의 둘레가 84 cm일 때, 선분 ㅇㄷ의 길이를 구해야 합니다.
도형측정·데이터
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 점대칭은 원래 직사각형과 점 ㅇ을 중심으로 180도 돌린 도형을 함께 그려 새로운 바깥 모양을 읽는 것이 가장 쉽습니다(그림 그리기). 둘레는 여러 조각의 합이므로 바깥에 남는 부분과 안쪽으로 사라지는 겹친 부분으로 나누어 생각합니다(작은 문제로 쪼개기). 마지막으로 완성된 둘레가 주어지고 숨은 길이를 찾아야 하므로 결과에서 거꾸로 ㅇㄷ을 구합니다(거꾸로 풀기).
1STEP 1
완성된 도형 그리기
직사각형을 그리고 변 DC 위에 O를 표시한 뒤, O를 중심으로 반 바퀴 돌린 복사본을 그리자.
반 바퀴 돌려도 똑같아 보이는 도형을 그리고 알아보는 것은 4학년 수준에서 할 수 있으므로, 돌린 도형을 직접 그리면 새 바깥 모양이 보입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram2STEP 2
직사각형 하나의 둘레 구하기
직사각형 한 개는 가로 15 cm, 세로 9 cm이므로 둘레는 15의 2배와 9의 2배를 더한 값입니다.
2 × 15 + 2 × 9 = 30 + 18 = 48 cm
직사각형을 한 바퀴 도는 것은 긴 변 둘과 짧은 변 둘을 더하는 것으로, 4학년이 익숙하게 쓰는 둘레 구하기입니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems3STEP 3
안쪽으로 사라지는 부분 찾기
DC를 따라 두 직사각형은 길이 2 × OC인 부분을 함께 가지며, 그것은 합친 도형 안쪽에 들어간다.
겹친 부분 = 2 × ㅇㄷ
점대칭으로 돌리면 ㄷ은 점 ㅇ을 지나 ㄷ만큼 떨어진 곳으로 가므로 맞붙는 띠는 정확히 ㅇㄷ의 두 배이고, 그림에서 그것이 안쪽에 있음을 바로 볼 수 있습니다.
4.G.A.3Draw A Diagram4STEP 4
전체 도형의 둘레 식 세우기
두 직사각형이 저마다 그 부분을 내놓으므로 둘레는 48 + 48에서 그것을 두 번 뺀 값이다.
48 + 48 - 2 × (2 × ㅇㄷ) = 96 - 4 × ㅇㄷ
둘레는 바깥을 빙 두른 거리이므로 안쪽에 들어간 선은 그것을 공유한 두 도형 모두에서 빼야 합니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems완성된 도형의 둘레는 두 직사각형의 둘레를 더한 뒤, 맞닿아 겹친 부분을 양쪽에서 한 번씩 덜어낸 것이다.
왜?
반 바퀴 돌린 복사본은 같은 직사각형을 자리만 옮긴 것이므로 둘레도 원래와 똑같다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
두 직사각형이 맞닿는 곳에서는 저마다 그 겹친 부분을 자기 테두리에서 내놓으므로, 그 부분이 양쪽에서 한 번씩 둘레를 떠난다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
5STEP 5
84 cm에서 거꾸로 풀기
완성된 둘레가 84 cm이므로 96에서 ㅇㄷ의 4배를 뺀 값이 84입니다. 따라서 ㅇㄷ의 4배는 12이고, ㅇㄷ은 3입니다.
96 - 4 × ㅇㄷ = 84 → 4 × ㅇㄷ = 12 → ㅇㄷ = 3 cm
바깥을 두른 전체 길이를 알면 과정을 거꾸로 되짚어 빠진 한 길이를 되찾을 수 있습니다.
3.MD.D.8Work Backwards정답
3 cm
ㅇㄷ = 3 cm는 9 cm 변 ㄹㄷ 안에 들어가고 ㅇㄹ = 6 cm가 남아, ㅇ이 ㄹ보다 ㄷ에 가깝다는 그림과 맞습니다. 바깥 모양을 직접 확인하면 여덟 변이 15, 9, 3, 15, 9, 15, 15, 3 cm로 합이 정확히 84 cm입니다. 단위도 끝까지 cm로 유지됩니다.
핵심 정리
두 도형이 한 변을 맞대어 붙으면 그 변은 안쪽에 숨으므로, 두 둘레에서 그만큼 빼면 남은 길이를 찾을 수 있어요.
- 완성된 도형 그리기
- 직사각형 하나의 둘레 구하기
- 안쪽으로 사라지는 부분 찾기
- 전체 도형의 둘레 식 세우기
- 84 cm에서 거꾸로 풀기
다음은 어디로?
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