문제
원의 중심에서 원 위의 점 사이의 거리는 같다.
크기가 같은 두 원이 서로 다른 원의 중심을 지나도록 겹쳐 있습니다. 두 원이 겹쳐 만든 가운데 부분에 마름모가 색칠되어 있고, 네 꼭짓점은 두 원의 중심과 겹친 부분의 두 끝점입니다. 선분 ㄱㄴ은 이 마름모의 가로 대각선으로 두 원의 중심을 잇습니다. 마름모의 둘레가 28 cm일 때 선분 ㄱㄴ의 길이를 구합니다.
측정·데이터도형
내 답
cm인가요?
조심 두 원이 서로의 중심을 지나면 지름만큼 떨어져 있다고 생각하기 쉽지만, 중심 사이의 거리는 지름이 아니라 반지름 한 개일 뿐입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 마름모의 각 변을 반지름으로 표시해 둘레에서 반지름을 구합니다. 그런 다음 두 중심을 잇는 선분 ㄱㄴ도, 각 원이 다른 원의 중심을 지나기 때문에 정확히 반지름 한 개임을 알아냅니다.
1STEP 1
마름모의 각 변은 반지름이다
각 변은 원의 중심에서 그 원 위의 한 점(끝점)까지 이어지므로 반지름과 같습니다.
변 = r
중심에서 그 원 위의 어떤 점까지의 거리는 항상 반지름입니다.
3.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
둘레에서 반지름 구하기
마름모는 길이가 같은 변이 4개이고 둘레가 28 cm이므로, 나누어 한 변의 길이, 즉 반지름을 구합니다: 28 ÷ 4 = 7 cm.
28 ÷ 4 = 7
다각형의 둘레는 변의 길이의 합이고, 변이 모두 같으면 나눗셈으로 한 변을 구할 수 있는 3학년 둘레 개념입니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems3STEP 3
ㄱㄴ은 두 중심을 이으므로 반지름 한 개이다
선분 ㄱㄴ은 두 중심을 잇는데, 각 원이 다른 원의 중심을 지나므로 그 거리는 반지름 한 개입니다: ㄱㄴ = 7 cm.
ㄱㄴ = r = 7
한 점이 원 위에 있으면 그 원의 중심에서 정확히 반지름만큼 떨어져 있고, 반대쪽 중심이 바로 그 원 위에 있습니다.
3.G.A.1Draw A Diagram두 원의 중심을 잇는 선분 AB의 길이는 정확히 반지름 하나이며, 색칠된 마름모의 각 변과 같은 길이이다.
왜?
AB와 마름모의 모든 변은 모두 이 같은 크기 원들의 반지름이므로, 같은 반지름과 같은 길이들이고 따라서 서로 같다.
왜?
AB는 반지름이다: AB는 원 A의 중심에서 중심 B까지 이어지는데, 각 원이 다른 원의 중심을 지나도록 그려져 중심 B가 원 A 위에 놓이므로, AB는 중심에서 원 위의 한 점까지 이어진다.
왜?
원의 중심에서 원 위의 어떤 점까지의 곧은 거리는 언제나 같은 길이인 반지름인데, 원은 바로 중심에서 그 한 거리만큼 떨어진 점들이기 때문이다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
마름모의 각 변은 반지름이다: 각 변은 원의 중심에서 렌즈 모양의 꼭짓점까지 이어지고, 각 꼭짓점은 그 원 위에 놓인 점이다.
왜?
원의 중심에서 원 위의 어떤 점까지의 곧은 거리는 언제나 같은 길이인 반지름인데, 원은 바로 중심에서 그 한 거리만큼 떨어진 점들이기 때문이다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
AB가 반지름 하나와 같고 각 변도 그 같은 반지름과 같으면, AB와 변은 같은 것과 같은 두 길이이므로 서로 같아야 한다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
정답
7 cm
28 ÷ 4 = 7
선분 ㄱㄴ(7 cm)은 마름모의 한 변과 같은데, 두 중심과 겹친 부분의 한 끝점이 변이 모두 반지름인 정삼각형을 이루므로 타당합니다. 중심 사이 거리가 한 변과 같습니다. 단위는 길이에 맞는 cm입니다.
핵심 정리
변이 모두 반지름이니 둘레를 4로 나누면 되고, 각 원이 다른 원의 중심까지 닿으니 중심을 잇는 선분도 그 반지름이에요!
- 마름모의 각 변은 반지름이다
- 둘레에서 반지름 구하기
- ㄱㄴ은 두 중심을 이으므로 반지름 한 개이다