심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
조건을 x+y와 xy의 관계로 바꿔 통째로 대입한다.
일 때, 다음 식의 값을 구하시오.
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 조건은 x+y와 xy 사이의 관계만 알려 줍니다. 그래서 조건을 x+y를 xy로 나타낸 식으로 바꾸고, 분수식도 x+y와 xy만으로 정리한 뒤 대입합니다. 모두 xy의 몇 배가 되어 xy가 약분됩니다.
1STEP 1
조건 바꾸기
두 분수를 공통분모 xy로 통분한 뒤 양변에 xy를 곱합니다.
1/x+1/y=(x+y)/(xy)=4/3 → x+y=(4/3)xy
조건은 사실 x+y와 xy를 비교하는 식입니다.
7.EE.A.2Convert To Algebra조건 는 와 같은 말이다.
왜?
분자와 분모에 같은 수를 곱하면 분수의 이름만 바뀌므로 , 이다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
왜?
크기가 같은 조각은 개수만 세어 더하므로 합은 이다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
같은 두 쪽에 를 똑같이 곱하면 여전히 같고 분모가 없어진다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
2STEP 2
분수식을 x+y로 묶기
분자를 전개해 x항과 y항을 모으고, 분모의 2x+2y는 2(x+y)로 씁니다.
(x(2-3y)+2y)/(xy-(2x+2y))=(2(x+y)-3xy)/(xy-2(x+y))
아는 덩어리 x+y가 보이도록 묶습니다.
6.EE.A.3Identify Subproblems3STEP 3
분자에 대입하기
x+y 대신 (4/3)xy를 넣습니다.
2×(4/3)xy-3xy=(8/3)xy-(9/3)xy=-(1/3)xy
분자가 xy의 몇 배인 꼴이 됩니다.
7.NS.A.2Convert To Algebra4STEP 4
분모에 대입하기
분모에도 똑같이 넣습니다.
xy-2×(4/3)xy=(3/3)xy-(8/3)xy=-(5/3)xy
분모도 xy의 몇 배인 꼴입니다.
7.NS.A.2Convert To Algebra5STEP 5
xy 약분하기
xy ≠ 0이므로 약분하면 수끼리의 나눗셈만 남습니다.
(-(1/3)xy)/(-(5/3)xy)=1/3÷5/3=1/5
음수를 음수로 나누면 양수입니다.
7.NS.A.2Convert To Algebra정답
1/5
조건에 맞는 한 쌍을 골라 봅니다. x=y=3/2이면 2/3+2/3=4/3입니다. 이때 분자는 3/2×(-5/2)+3=-3/4, 분모는 9/4-6=-15/4이고 -3/4÷(-15/4)=1/5입니다.
핵심 정리
x, y를 못 구해도 괜찮아요. 문제가 진짜로 필요로 하는 덩어리를 찾으세요.
- 조건 바꾸기
- 분수식을 x+y로 묶기
- 분자에 대입하기
- 분모에 대입하기
- xy 약분하기
다음은 어디로?
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