문제
겉넓이는 입체를 둘러싼 모든 면의 넓이의 합이다.
굵은 원기둥 위에 가는 원기둥이 놓여 있습니다. 이 입체의 겉넓이를 구해야 합니다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 두 원기둥의 겉넓이를 그냥 더하면 맞닿은 면을 양쪽에서 한 번씩 두 번 세는데, 그 두 면은 모두 보이지 않습니다. 대신 입체의 바깥을 따라가며 만나는 면마다 이름을 붙입니다.
1STEP 1
바깥면 따라가기
아래에서 위로 갑니다. 아래 밑면, 아래 옆면, 위 원기둥이 덮지 않은 아래 윗면의 고리 부분, 위 옆면, 위 윗면입니다.
면은 다섯이고, 맞닿은 면은 그중에 없습니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships두 원기둥이 맞닿은 곳에서는 어느 면도 바깥에 있지 않다.
왜?
겉넓이는 바깥에 닿는 것만 세는데, 맞닿은 자리는 두 입체 사이에 막혀 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
가는 원기둥의 밑면과 그 아래 굵은 원기둥 윗면의 그 자리는 같은 영역이므로, 서로를 정확히 가린다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
평평한 두 원 재기
입체 전체의 바닥과 가는 원기둥의 윗면입니다.
8 × 8 × 3.14 = 200.96, 4 × 4 × 3.14 = 50.24
200.96 cm²와 50.24 cm²입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram3STEP 3
굵은 원기둥 윗면의 고리 재기
넓은 원에서 가운데의 좁은 원을 뺀 것입니다.
200.96 - 50.24 = 150.72
고리는 150.72 cm²입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram4STEP 4
두 옆면 재기
각각 가로가 자기 밑면의 둘레이고 세로가 5 cm인 직사각형으로 펼쳐집니다.
8 × 2 × 3.14 × 5 = 251.2, 4 × 2 × 3.14 × 5 = 125.6
251.2 cm²와 125.6 cm²입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram5STEP 5
다섯 면 더하기
평평한 원 둘, 고리 하나, 옆면 둘입니다.
200.96 + 50.24 + 150.72 + 251.2 + 125.6 = 778.72
겉넓이는 778.72 cm²입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems정답
778.72 cm²
위에서 내려다보며 확인합니다. 고리와 가는 원기둥의 윗면을 합하면 넓은 원과 꼭 같아 150.72 + 50.24 = 200.96 cm²이고, 바닥과 같으니 맞습니다.
핵심 정리
두 입체가 맞닿은 곳에서는 양쪽 면이 모두 사라집니다. 부분을 더하지 말고 바깥을 따라가세요.
- 바깥면 따라가기
- 평평한 두 원 재기
- 굵은 원기둥 윗면의 고리 재기
- 두 옆면 재기
- 다섯 면 더하기