심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
최댓값과 최솟값의 차가 가장 큰 차이다.
민채가 저금한 돈은 백의 자리에서 반올림하면 35000원이 되고, 준호가 저금한 돈은 천의 자리에서 반올림하면 28000원이 됩니다. 두 사람이 저금한 돈의 차가 가장 클 때의 값을 구해야 합니다.
식·방정식자릿값
내 답
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기 — 차를 가장 크게 만들려면 민채의 돈은 가능한 한 크게, 준호의 돈은 가능한 한 작게 잡아야 합니다. 문제는 두 개의 작은 문제로 나뉩니다. 백의 자리 반올림으로 35000이 되는 가장 큰 수 찾기, 천의 자리 반올림으로 28000이 되는 가장 작은 수 찾기입니다. 반올림 경계의 수들을 직접 넣어 확인하면(추측하고 확인하기) 이 학년에게는 대수의 부등식보다 더 직관적으로 각 경계값을 찾을 수 있습니다.
1STEP 1
민채가 가질 수 있는 가장 큰 돈
백의 자리 반올림은 십의 자리를 보므로, 내림이 되는 가장 큰 금액은 35049원이다.
35049 → 35000, 35050 → 35100
올림과 버림을 가르는 기준을 배운 학생이라면 35049와 35050을 비교해 경계가 어디인지 정확히 알 수 있습니다.
3.NBT.A.1Guess And Check2STEP 2
준호가 가질 수 있는 가장 작은 돈
천의 자리 반올림은 백의 자리를 보므로, 올림이 되는 가장 작은 금액은 27500원이다.
27500 → 28000, 27499 → 27000
절반 기준을 사이에 둔 두 수를 직접 확인하면 28000으로 반올림되는 가장 작은 돈을 정확히 찾을 수 있습니다.
3.NBT.A.1Guess And Check3STEP 3
가장 큰 차를 위해 양 끝값을 짝지어 보기
차이는 한쪽이 가장 크고 다른 쪽이 가장 작을 때 가장 벌어지니, 35049와 27500을 짝짓자.
34950 ≤ M ≤ 35049, 27500 ≤ J ≤ 28499
각 사람의 가능한 값을 범위로 적으면 어느 끝값이 가장 큰 차를 만드는지 한눈에 보입니다.
6.EE.B.8Identify Subproblems차이가 가장 큰 때는 민채의 금액을 가장 크게, 준호의 금액을 가장 작게 잡을 때다.
왜?
차이는 큰 쪽이 커질수록, 또 작은 쪽이 작아질수록 커지므로 양 끝을 갈 수 있는 데까지 벌려야 한다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
두 사람의 실제 금액은 각자의 반올림 범위 안 어디에나 있을 수 있고 두 범위는 서로 아무 상관이 없으므로, 양쪽 극단을 따로따로 고를 수 있다.
왜?
반올림은 남기려는 자리 바로 아래 자리를 보는데, 그 자리는 아래 단위 열 개를 묶은 것이라 범위의 폭이 거기서 정해진다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
4STEP 4
빼서 가장 큰 차 구하기
민채의 가장 큰 돈에서 준호의 가장 작은 돈을 뺍니다.
35049 - 27500 = 7549
양 끝의 돈을 알고 나면 여러 자리 뺄셈 한 번으로 문제가 끝납니다.
4.NBT.B.4Look For A Pattern정답
7549원
두 돈이 약 35000원과 27500원이므로 차는 7500원 정도가 예상되며, 7549원은 바로 그 범위에 들어갑니다. 두 끝값 모두 반올림 규칙을 지키므로(35049는 35000으로, 27500은 28000으로 반올림) 답은 타당합니다.
핵심 정리
차를 가장 크게 만들려면 앞의 수는 될 수 있는 한 크게, 뒤의 수는 될 수 있는 한 작게 잡습니다.
- 민채가 가질 수 있는 가장 큰 돈
- 준호가 가질 수 있는 가장 작은 돈
- 가장 큰 차를 위해 양 끝값을 짝지어 보기
- 빼서 가장 큰 차 구하기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Branching State Enumeration, Casework by Position / Vertex Type, Small-Domain Constrained Search. 왜 같은 골격이 반복되는지 →